Đề Thi Olympic Toán Lớp 11 2025-2026

Giá trị lớn nhất của hàm số $y={\cos }^{2}x-3\cos 2x+1$ trên $\mathbb{R}$ bằng bao nhiêu?

Tam giác có các đỉnh là các điểm nằm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình ${\cos }^{2}x-\cos x=0$ có diện tích bằng bao nhiêu?

Cho tứ giác lồi có số đo của bốn góc lập thành cấp số cộng và góc lớn nhất có số đo gấp 5 lần số đo góc nhỏ nhất. Số đo góc nhỏ nhất của tứ giác đã cho bằng bao nhiêu độ?

Vào ngày 10 tháng 01 năm 2026 anh Toàn gửi vào ngân hàng 600 triệu đồng với lãi suất 0,5\%/tháng. Kể từ tháng 2 năm 2026, cứ vào ngày 10 mỗi tháng anh Toàn đến ngân hàng rút ra 25 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Toàn rút hết tiền trong ngân hàng (ở tháng cuối cùng, số tiền rút ra có thể ít hơn 25 triệu đồng).

Giá trị của $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x\sqrt{2}}-\sqrt[3]{x^3+1}\right)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-4}& khix<-2\\ x+2& khix\ge -2\end{array}$. Biết rằng hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=-2$. Giá trị của $a+2b$ bằng bao nhiêu?

Thời gian sử dụng mạng xã hội mỗi ngày của 40 học sinh (đơn vị: phút) được thống kê bởi bảng tần số ghép nhóm như sau:



Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng bao nhiêu?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $M$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $BD$. Biết rằng, phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ theo phương chiếu $D{A}^{\prime }$ biến điểm $M$ thành điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $A{B}^{\prime }$. Tỉ số $\frac{AN}{A{B}^{\prime }}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh 2, cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,SC$ và $SA$. Gọi $\alpha$ là số đo góc tạo bởi hai đường thẳng $MN$ và $BP$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Biết $AB=2\sqrt{2},AD=2$, cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $SC$. Diện tích của tam giác $MND$ bằng bao nhiêu?

Cho một bảng 6×6 như hình vẽ:



Một chú thỏ xuất phát từ vị trí điểm $A$, di chuyển ngẫu nhiên qua các cạnh của ô vuông theo hướng lên trên hoặc sang phải đến vị trí $B$.

a) Có bao nhiêu cách để chú thỏ đi từ $A$ đến $B$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài?
b) Tính xác suất để chú thỏ đến được $B$ mà đi qua điểm $H$ hoặc điểm $K$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2,\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH=\sqrt{3}$.

a) Chứng minh đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $(SHC)$.
b) Gọi $E$ là điểm thay đổi trên đoạn thẳng $CH$. Gọi $I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $E$ lên các mặt phẳng $(SCD)$ và $(SAB)$. Tính giá trị của biểu thức $T=EI\sqrt{13}+EK\sqrt{10}$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=2$ và $n{u}_{n+1}=2(n+1)u_n+n^2+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) Chứng minh $T=\frac{u_1}{1}+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+...+\frac{u_{2025}}{2025}+\frac{u_{2026}}{2026}<3.2^{2026}$.