Kỳ Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh HSG Quốc Gia 2025-2026 Môn Toán - Ngày Thi Thứ Nhất

Câu 1 (7,0 điểm). Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=-2;u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2-8}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a. Chứng minh rằng $-2\le u_n\le -\sqrt[3]{4}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b. Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ tồn tại giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$.

Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là giao của $AD$ với $(O)$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $CK$, $BK$ với $AB$, $AC$ tương ứng.

a. Gọi $X$ là giao điểm của $OD$ và $PQ$. Chứng minh rằng $X{B}^2=XP\cdot XQ$.
b. Một đường thẳng qua $O$, vuông góc với $AD$ và cắt $(O)$ tại $S,T$ ($S$ nằm trên cung nhỏ $AC$). Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $TC$, $TQ$ với $SB$, $SP$ tương ứng. Chứng minh rằng $M$, $N$, $K$ thẳng hàng.

Câu 3 (6,0 điểm). Cho $(a_n)$ là 1 dãy các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên tố $p$, có vô số số hạng trong dãy $(a_n)$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng, mọi số hữu tỉ dương bé hơn 1 đều có thể biểu diễn dưới dạng $\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_1{a}_2}+\dots +\frac{b_n}{a_1{a}_2\dots a_n}$, với $b_1;b_2;\dots ;b_n$ là các số nguyên thỏa mãn $0\le b_i\le a_i-1$, $i=1;2;\dots ;n$.

Câu 4 (7,0 điểm). Cho các số thực không âm $a,b,c$ bất kỳ. Chứng minh rằng:
$$a^3+b^3+c^3+9abc+4(a+b+c)\ge 8(ab+bc+ca)$$

Câu 5 (7,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Gọi $E,F$ là tâm các đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của các tam giác $ABD$, $ACD$ tương ứng. Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

a. Chứng minh rằng $AEJF$ là hình bình hành.

b. Chứng minh rằng tâm đường tròn $Euler$ của tam giác $AEF$ nằm trên đường thẳng $AD$.

Câu 6 (6,0 điểm). Xét bảng ô vuông tạo thành bởi $2025\times 2025$ ô vuông nhỏ, và ta quy ước ô $(i;j)$ là kí hiệu cho ô vuông ở hàng thứ $i$, cột thứ $j$ (tính từ dưới lên trên, từ trái sang phải). Bạn An thực hiện các thao tác như sau:

- Đặt một viên sỏi vào ô $(1;1)$ và chọn 2 số nguyên dương $a;b$ đều nhỏ hơn 2025.

- Ở bước thứ $k$, nếu $k$ lẻ thì An sẽ được di chuyển viên sỏi đến một trong hai ô $(i+a;j)$ hoặc $(i;j+a)$; nếu $k$ chẵn thì An sẽ được di chuyển viên sỏi đến một trong hai ô $(i+b;j)$ hoặc $(i;j+b)$, ở đây tọa độ chúng ta lấy theo mod 2025.

Tính số lượng các cặp $(a;b)$ sao cho An có thể đặt viên sỏi vào tất cả các ô vuông đơn vị đúng một lần.