Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 12 Gia Lai 2025-2026

(7,0 điểm) Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn $a_{n+1}-\frac{4}{a_{n+1}}=a_n+\frac{4}{a_n},\forall n\ge 1$. Đặt $y_n=a_n^2+\frac{16}{a_n^2},\forall n\ge 1$.

a) Chứng minh $a_n+\frac{4}{a_n}=\sqrt{y_1+16n-8},\forall n\ge 1$.

b) Tính $\lim \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right)$.

Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường thẳng qua $O$ và song song với $BC$ tương ứng cắt các đường thẳng $HB$, $HC$ tại các điểm $E$ và $F$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$, các đường thẳng $KE$, $KF$ tương ứng cắt đường thẳng $BC$ tại các điểm $M$ và $N$. Gọi $P$, $Q$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $KB$ và $KC$. Đường thẳng qua $B$, song song với $KF$ cắt đường thẳng qua $C$, song song với $KE$ tại điểm $G$.

a) Chứng minh đường thẳng $KB$ vuông góc với đường thẳng $KF$, đường thẳng $KC$ vuông góc với đường thẳng $KE$.

b) Giả sử hai đường thẳng $MQ$ và $NP$ cắt nhau tại điểm $T$, chứng minh ba điểm $T$, $G$, $K$ thẳng hàng.

Xét hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa các điều kiện sau:

(i) $f(x+1)\ge f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R}$;

(ii) $f(xy)\ge f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

a) Tính $f(0),f(1)$.

b) Chứng minh $f(x)=x,\forall x\le 0$.

Câu 4 (6,0 điểm). Cho đa thức hệ số thực $P(x)$ có bậc $n>2$. Biết rằng phương trình $P(P(P(x)))=P(x)$ có đúng $n^3$ nghiệm thực đôi một phân biệt, gọi $S$ là tập nghiệm đó.

a) Chứng minh $P(P(P(x)))-P(x)$ chia hết cho $P(x)-x$ và phương trình $P(x)=x$ có đúng $n$ nghiệm thực đôi một phân biệt.

b) Ta định nghĩa trung bình cộng của một tập hợp $X=\{x_1;x_2;...;x_k\}\subset \mathbb{R}$ là số thực $m(X)=\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{x}_i$. Gọi $S_1$, $S_2$ tương ứng là tập nghiệm của các đa thức $P(x)-x$ và $P(P(x))-x$. Chứng minh $m(S_1)=m(S_2\setminus S_1)=m(S\setminus S_2)$.

Câu 5 (7,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(n,t)$ thỏa mãn $\frac{n^2+1}{t}=[\sqrt{n}{]}^2+2$, trong đó $[r]$ ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$.

Câu 6 (7,0 điểm)
Xét $n$ – giác đều $P$, tại mỗi đỉnh của $P$, ta ghi một trong hai số $1$ hoặc $-1$. Xét phép biến đổi $T$: Chọn một đa giác đều (có đỉnh là đỉnh của $P$, tâm trùng với tâm của $P$) hoặc một đoạn thẳng (có hai đầu mút là hai đỉnh của $P$, trung điểm là tâm của $P$), sau đó tiến hành đổi dấu cho các số ghi tại mỗi đỉnh của đa giác hoặc hai đầu mút của đoạn thẳng được chọn, nghĩa là số $1$ đổi thành số $-1$ và ngược lại.
Chứng minh rằng, tồn tại một cách ghi số ban đầu cho các đỉnh của $P$ để sao cho sau hữu hạn lần dùng phép biến đổi $T$ liên tiếp ta không thể thu được trạng thái mà tại tất cả các đỉnh của $P$ đều là số $1$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Khi $n=6$.
b) Khi $n=30$.