Cho $(a_n)$ là dãy số được xác định bởi $a_1=2$ và $a_n=2a_{n-1}^2-1$, $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2$.

Tính giới hạn ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2^{n-1}(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)\cdots (a_1+1)}{a_n}$.

Với số nguyên dương $n\ge 3$, đa thức $P(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ có các hệ số thực sao cho $a_{n-2}=0$, $a_n\ne 0$ và $\frac{a_{n-1}}{a_n}>n+1$. Giả sử đa thức $P(x)$ có $n$ nghiệm thực.

Chứng minh rằng $P(x)$ có cả nghiệm dương, nghiệm âm và có nghiệm thuộc khoảng $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{n+1}\right)$.

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ cố định, nội tiếp đường tròn $(O)$. Một điểm $D$ di chuyển trên cạnh $AB$, khác $A$ và $B$. Đường tròn $(BCD)$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $E$ khác $C$. Gọi $P$ là giao điểm khác $A$ của hai đường tròn $(O)$ và $(ADE)$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $PD$ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Giả sử đường thẳng $PD,PE$ cắt đường tròn $(BCD)$ lần lượt tại điểm $Q,R$ khác $D,E$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $QR$. Chứng minh rằng điểm $M$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.

Một câu lạc bộ có 99 thành viên, trong đó có một số cặp quen biết nhau (quan hệ quen biết có tính hai chiều). Giả sử số lượng người quen của mỗi thành viên trong câu lạc bộ đều từ 81 đến 90.

a) Chứng minh rằng tồn tại 2 thành viên của câu lạc bộ có ít nhất 67 người quen chung.

b) Chứng minh rằng tồn tại 10 thành viên của câu lạc bộ cùng quen chung một người và có số lượng người quen bằng nhau.