Với số nguyên dương $n\ge 3$, đa thức $P(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ có các hệ số thực sao cho $a_{n-2}=0$, $a_n\ne 0$ và $\frac{a_{n-1}}{a_n}>n+1$. Giả sử đa thức $P(x)$ có $n$ nghiệm thực.

Chứng minh rằng $P(x)$ có cả nghiệm dương, nghiệm âm và có nghiệm thuộc khoảng $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{n+1}\right)$.

Gọi $r_1,r_2,\dots ,r_n$ là $n$ nghiệm thực của đa thức $P(x)$. Vì $a_n\ne 0$ nên $r_i\ne 0$ với mọi $i$.
Theo định lý Viète, ta có $S={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{r_i}=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ và ${\sum }_{1\le i<j\le n}\frac{1}{r_i{r}_j}=\frac{a_{n-2}}{a_n}=0$, do đó
$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{r_i^2}={\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{r_i}\right)}^2-2\sum _{1\le i<j\le n}\frac{1}{r_i{r}_j}=S^2.$$
Mặt khác, từ giả thiết $\frac{a_{n-1}}{a_n}>n+1$ suy ra $S<-(n+1)$.

Trước hết, ta chứng minh $P(x)$ có cả nghiệm dương và nghiệm âm. Giả sử ngược lại rằng các nghiệm $r_1,r_2,\dots ,r_n$ đều cùng dấu. Khi đó $\frac{1}{r_i{r}_j}>0$ với mọi $1\le i<j\le n$, suy ra $\sum _{1\le i<j\le n}\frac{1}{r_i{r}_j}>0$, mâu thuẫn với $\sum _{1\le i<j\le n}\frac{1}{r_i{r}_j}=0$. Vậy $P(x)$ có cả nghiệm dương và nghiệm âm.

Ta chứng minh $P(x)$ có một nghiệm thuộc $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{n+1}\right)$.

Giả sử ngược lại rằng không có nghiệm nào thuộc khoảng này.

Khi đó, với mỗi $i$, ta có hoặc $r_i\ge \frac{1}{n+1}$, hoặc $r_i\le -\frac{1}{2}$.

Nếu $r_i\ge \frac{1}{n+1}$ thì $0<\frac{1}{r_i}\le n+1$; còn nếu $r_i\le -\frac{1}{2}$ thì $-2\le \frac{1}{r_i}<0$.

Do đó, trong mọi trường hợp ta đều có $-2\le \frac{1}{r_i}\le n+1$.

Suy ra $\left(\frac{1}{r_i}+2\right)\left(n+1-\frac{1}{r_i}\right)\ge 0$, hay $2(n+1)+(n-1)\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_i^2}\ge 0$.

Cộng các bất đẳng thức trên với $i=1,2,\dots ,n$, ta được

$$0\le \sum _{i=1}^n\left(2(n+1)+(n-1)\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_i^2}\right)=2n(n+1)+(n-1)S-S^2.$$

Vì vậy $(S-2n)(S+n+1)\le 0$. Tuy nhiên, do $S<-(n+1)$ nên $S+n+1<0$.

Đồng thời $S-2n<-(n+1)-2n=-3n-1<0$. Vậy $(S-2n)(S+n+1)>0$, mâu thuẫn với bất đẳng thức trên. Do đó $P(x)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{n+1}\right)$.