Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 12 THPT Hồng Lĩnh 2024-2025

Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$.

Câu 2. (2,0 điểm) Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ $(mg/l)$ của thuốc trong máu sau $x$ phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức $C(x)=\frac{30x}{x^2+2}$.

(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning)

Hãy lập bảng biến thiên của hàm số $y=C(x)=\frac{30x}{x^2+2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Khi đó, cho biết hàm nồng độ thuốc trong máu $C(x)$:
a) Tăng trong khoảng thời gian nào;
b) Đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm.

Câu 3. (2,0 điểm) Kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao $98m$ và cạnh đáy $180m$. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó.

Câu 4. (2,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SA\perp (ABC)$ và $SB=2a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Câu 6. (2,0 điểm) Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau $x$ lần quảng cáo được phát thì số \% người xem mua sản phẩm là $P(x)=\frac{100}{1+49e^{-0,015x}}$, $x\ge 0$. Hãy tính số lần quảng cáo được phát tối thiểu để số \% người xem mua sản phẩm đạt hơn $75\%$.

Câu 7. (2,0 điểm) Một đề thi gồm 5 câu hỏi ở dạng thức trắc nghiệm dạng Đúng/Sai. Mỗi câu hỏi có 04 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách thức tính điểm như sau:
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,2 điểm.
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 1 điểm.
- Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 04 ý trong 01 câu hỏi được 2 điểm.
Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên tất cả các ý trả lời. Tính xác suất để học sinh đó được ít nhất 9 điểm.

Câu 8. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\ln \left(2x^2-mx\right)+\frac{\ln \left(x^2+2024\right)}{x^2-2x-m}$ xác định trên khoảng $(0;3)$.

Câu 9. (2,0 điểm) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $3\sqrt{\sin x+\cos x+2}+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+m-1=0$.

Câu 10. (2,0 điểm) Có bao nhiêu cặp số nguyên $x;y$ thỏa mãn $0\le x\le 2024$ và ${\log }_3\left(\overline{3x+3}\right)+x=2y+9^y$