Kỳ Thi Học Sinh Giỏi Văn Hóa Toán 11 THPT Thị Xã Quảng Trị

Câu 1. (3 điểm) Tìm tập xác định của hàm số $f(x)=2x+\sqrt{2025-x}+\sqrt{{\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+4}$.

Câu 2. (2 điểm) Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{9\pi }{2}\right)-3\cos \left(x-\frac{7\pi }{2}\right)=1+2\sin x$ trên khoảng $(-\pi ;2\pi )$.

Câu 3. (3 điểm) Ông An cần thuê xe chở 140 tấn xi măng và 9 tấn thép để xây dựng công trình. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 4,5 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 tấn xi măng và 0,6 tấn thép, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 tấn xi măng và 1,5 tấn thép. Tính số xe loại A và loại B cần thuê để ông An mất ít tiền thuê xe nhất.

Câu 4. (2 điểm) Tìm $m$ để hàm số sau liên tục tại $x=3$:
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt[3]{2x+21}}{x-3}& \text{khi }x\ne 3\\ 3m-1& \text{khi }x=3\end{array}.$$

Câu 5. (3 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=3$. Chứng minh rằng $\frac{1}{u_3-u_1}+\frac{1}{u_4-u_2}+\frac{1}{u_5-u_3}+\dots +\frac{1}{u_{2026}-u_{2024}}<\frac{2}{3}$.

Câu 6. (2 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ u_{n+1}=\frac{u_n\left(u_n^2+3\right)}{3u_n^2+1}\end{array},\forall n\ge 1.$$ Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 7. (3 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh bằng $3a$, $SA=SB=SC=a\sqrt{6}$ và tam giác $ABC$ đều. Giả sử $(P)$ là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $(P)$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$.

Câu 8. (2 điểm) Bạn Dung và Ánh mỗi bạn có một hộp bi. Trong mỗi hộp đều có chứa bi trắng và chứa bi đen, tổng số bi trong hai hộp là 25 (các bi giống nhau về kích thước và trọng lượng). Biết hộp của Dung chứa nhiều bi hơn hộp của Ánh và số bi đen trong hộp của Dung nhiều hơn số bi đen trong hộp của Ánh. Từ mỗi hộp của mình mỗi bạn lấy ngẫu nhiên ra một viên. Tính xác suất để hai viên được lấy ra khác màu và biết rằng xác suất lấy ra được hai viên cùng màu đen là 0,39.