Kỳ Thi Olympic Toán 11 2024-2025

Câu 1 (1,0 điểm) Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos 2x+\sin x+1$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{4};\pi \right]$ bằng bao nhiêu?

Câu 2 (1,0 điểm) Mẫu số liệu ghép nhóm về tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên quần vợt được cho trong bảng sau:



Trung vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

Câu 3 (1,0 điểm) Giá trị của $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{2x+1}}{x^2-4}$ bằng bao nhiêu?

Câu 4 (1,0 điểm) Một cấp số cộng có chẵn số hạng. Tổng các số hạng thứ lẻ là 24, tổng các số hạng thứ chẵn là 30. Biết rằng số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là $\frac{21}{2}$, cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x^2+3}+ax+b}{x-1}& \text{khi }x\ne 1\\ 2& \text{khi }x=1\end{array}$. Biết hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=1$, giá trị của $ab$ bằng bao nhiêu?

Câu 6 (1,0 điểm) Phương trình $\cot \left(\frac{5\pi }{2}+x\right)-\frac{\cos x}{1+\sin x}=2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[0;2025\pi \right]$?

Câu 7 (1,0 điểm) Cho cấp số nhân $(u_n)$ có mọi số hạng đều dương và công bội $q\ne 1$. Biết $u_1+u_2+u_3+u_4=\frac{45}{4}$ và $\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}=\frac{5}{2}$, giá trị của $u_1{u}_2{u}_3{u}_4$ bằng bao nhiêu?

Câu 8 (1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ và $O$ là điểm bất kì nằm bên trong tam giác $BCD$. Qua điểm $O$ kẻ các đường thẳng song song với $AB,AC,AD$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ lần lượt tại các điểm $M,N,P$. Giá trị của biểu thức $T=\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{AC}+\frac{OP}{AD}$ bằng bao nhiêu?

Câu 9 (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh $SA=2a$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $AC$ và $SD$. Khi đó giá trị của $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

Câu 10 (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,AD=2a$. Cạnh $SA=2a$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,CD$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Khi đó giá trị của $\sin \alpha$ bằng bao nhiêu?

Câu 11 (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin 2x-2m\sin x-\cos x+m=0$ có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$.

Câu 12 (4,0 điểm) Cho tứ diện $OABC$ có ba đường thẳng $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $OH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

b) Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng $OH$ với các đường thẳng $OA,OB$ và $OC$. Tính giá trị của biểu thức $T={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$.

c) Chứng minh $\frac{S_{△HBC}}{S_{△OBC}}+\frac{S_{△HAC}}{S_{△OAC}}+\frac{S_{△HAB}}{S_{△OAB}}\le \sqrt{3}$.

Câu 13 (3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{2(n+2)u_n}{n+1}+n+2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\frac{u_1}{2}+\frac{u_2}{3}+\frac{u_3}{4}+...+\frac{u_{2024}}{2025}<\frac{u_{2025}}{2026}$.