Câu 6 (1,0 điểm) Phương trình $\cot \left(\frac{5\pi }{2}+x\right)-\frac{\cos x}{1+\sin x}=2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[0;2025\pi \right]$?

Câu 7 (1,0 điểm) Cho cấp số nhân $(u_n)$ có mọi số hạng đều dương và công bội $q\ne 1$. Biết $u_1+u_2+u_3+u_4=\frac{45}{4}$ và $\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}=\frac{5}{2}$, giá trị của $u_1{u}_2{u}_3{u}_4$ bằng bao nhiêu?

Câu 8 (1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ và $O$ là điểm bất kì nằm bên trong tam giác $BCD$. Qua điểm $O$ kẻ các đường thẳng song song với $AB,AC,AD$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ lần lượt tại các điểm $M,N,P$. Giá trị của biểu thức $T=\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{AC}+\frac{OP}{AD}$ bằng bao nhiêu?

Câu 9 (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh $SA=2a$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $AC$ và $SD$. Khi đó giá trị của $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

Câu 10 (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,AD=2a$. Cạnh $SA=2a$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,CD$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Khi đó giá trị của $\sin \alpha$ bằng bao nhiêu?

Câu 11 (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin 2x-2m\sin x-\cos x+m=0$ có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$.

Câu 12 (4,0 điểm) Cho tứ diện $OABC$ có ba đường thẳng $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $OH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

b) Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng $OH$ với các đường thẳng $OA,OB$ và $OC$. Tính giá trị của biểu thức $T={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$.

c) Chứng minh $\frac{S_{△HBC}}{S_{△OBC}}+\frac{S_{△HAC}}{S_{△OAC}}+\frac{S_{△HAB}}{S_{△OAB}}\le \sqrt{3}$.

Câu 13 (3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{2(n+2)u_n}{n+1}+n+2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\frac{u_1}{2}+\frac{u_2}{3}+\frac{u_3}{4}+...+\frac{u_{2024}}{2025}<\frac{u_{2025}}{2026}$.