Câu 11 (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin 2x-2m\sin x-\cos x+m=0$ có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$.

Ta có $\sin 2x-2m\sin x-\cos x+m=0\iff (2\sin x-1)(\cos x-m)=0\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=\frac{1}{2}\\ \cos x=m\end{array}\right].$ (1,0 điểm)

Giải được phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có 3 nghiệm trên đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$. (1,0 điểm)

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình $\cos x=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ và khác nghiệm của phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$. Học sinh vẽ được đồ thị, hoặc vẽ được đường tròn lượng giác để biện luận. (0,5 điểm)

Tìm được $m=1$ và $\{\begin{array}{l}-1<m<0\\ m\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$. (0,5 điểm)