Câu 13 (3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{2(n+2)u_n}{n+1}+n+2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chứng minh $\frac{u_1}{2}+\frac{u_2}{3}+\frac{u_3}{4}+...+\frac{u_{2024}}{2025}<\frac{u_{2025}}{2026}$.

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng. (1,5 điểm)

Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2(n+2)u_n}{n+1}+n+2-u_n=\frac{(n+3)u_n}{n+1}+n+2$. (0,5 điểm)

Dễ thấy $u_n>0$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ suy ra $u_{n+1}-u_n>0$.

Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng. (1,0 điểm)

b) Chứng minh $\frac{u_1}{2}+\frac{u_2}{3}+\frac{u_3}{4}+...+\frac{u_{2024}}{2025}<\frac{u_{2025}}{2026}$. (1,5 điểm)

Ta có $\frac{u_{n+1}}{n+2}=2\frac{u_n}{n+1}+1\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{n+2}+1=2\left(\frac{u_n}{n+1}+1\right)$.

Đặt $\frac{u_n}{n+1}+1=v_n$ ta có $\{\begin{array}{l}{v}_1=2\\ v_{n+1}=2v_n\end{array}$, suy ra $v_n=2^n$. (1,0 điểm)

Ta có $\frac{u_n}{n+1}=2^n-1$. Do đó $\frac{u_1}{2}+\frac{u_2}{3}+\frac{u_3}{4}+...+\frac{u_{2024}}{2025}=\left(2^1+2^2+...+2^{2024}\right)-2024=2^{2025}-2026<\frac{u_{2025}}{2026}$. (0,5 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.