Câu 12 (4,0 điểm) Cho tứ diện $OABC$ có ba đường thẳng $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $OH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

b) Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng $OH$ với các đường thẳng $OA,OB$ và $OC$. Tính giá trị của biểu thức $T={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$.

c) Chứng minh $\frac{S_{△HBC}}{S_{△OBC}}+\frac{S_{△HAC}}{S_{△OAC}}+\frac{S_{△HAB}}{S_{△OAB}}\le \sqrt{3}$.

a) Chứng minh $OH\perp (ABC)$. (1,5 điểm)



Chứng minh được $BC\perp (OAK)\Rightarrow OH\perp BC$. (0,5 điểm)

Chứng minh được $AB\perp (OEC)\Rightarrow OH\perp AB$. (0,5 điểm)

Ta có $OH\perp BC$ và $OH\perp AB$ theo chứng minh trên, $AB$ và $BC$ cắt nhau trong mặt phẳng $(ABC)$ nên suy ra $OH\perp (ABC)$. (0,5 điểm)

b) Tính $T={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$. (1,5 điểm)

Chỉ ra được $(OH;OA)=\widehat{AOH}$ suy ra $\widehat{AOH}=\alpha$ và ${\cos }^2\alpha =\frac{O{H}^2}{O{A}^2}$. (0,5 điểm)

Chứng minh tương tự ${\cos }^2\beta =\frac{O{H}^2}{O{B}^2};{\cos }^2\gamma =\frac{O{H}^2}{O{C}^2}$. Suy ra ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =\frac{O{H}^2}{O{A}^2}+\frac{O{H}^2}{O{B}^2}+\frac{O{H}^2}{O{C}^2}=O{H}^2\left(\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}\right)$. (0,5 điểm)

Chứng minh được $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{1}{O{H}^2}$ để suy ra $T={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$. (0,5 điểm)

c) Chứng minh $\frac{S_{△HBC}}{S_{△OBC}}+\frac{S_{△HAC}}{S_{△OAC}}+\frac{S_{△HAB}}{S_{△OAB}}\le \sqrt{3}$. (1,0 điểm)

Ta có $\frac{S_{△HBC}}{S_{△OBC}}=\frac{HK}{OK}=\cos \widehat{HKO}$. (0,5 điểm)

Lại có $\widehat{HKO}=\widehat{AOH}=\alpha$ nên suy ra $\frac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta OBC}}=\cos \alpha$.

Chứng minh tương tự suy ra $P=\frac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta OBC}}+\frac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta OAC}}+\frac{S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta OAB}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma$.

Áp dụng bất đẳng thức $(x+y+z{)}^2\le 3\left(x^2+y^2+z^2\right)$ ta có:

Do đó $P^2={\left(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma \right)}^2\le 3\left({\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma \right)=3$.

Vậy $P\le \sqrt{3}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $OA=OB=OC$. (0,5 điểm)