Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ thỏa mãn: $\left|\vec{a}\right|=4;\left|\vec{b}\right|=3;\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=4$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Chọn khẳng định đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$?

Cho tứ diện $ABCD$ với $AB\perp AC$, $AB\perp BD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Góc giữa $PQ$ và $AB$ là?

Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos (AB,DM)$ bằng

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ và $G$ là trung điểm $MN$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $I$ là tâm hình vuông $ABCD$, gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{B}^{\prime }C$ (tham khảo hình vẽ).



Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai véc-tơ đó là $45^{\circ }$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng $m=5kg$ được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^{\circ }$. Biết $\vec{P}=m.\vec{g}$ trong đó $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10m/{\mathrm{s}}^2$, $\vec{P}$ là trọng lực tác động vật có đơn vị là $N$, $m$ là khối lượng của vật có đơn vị là $kg$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một chất điểm ở vị trí đỉnh $A$ của hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ như hình vẽ. Độ lớn của các lực $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ tương ứng là $10N$, $10N$ và $20N$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu?

Một em nhỏ cân nặng $m=25\mathrm{kg}$ trượt trên cầu trượt dài $3,5\mathrm{m}$. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là $30^{\circ }$

Độ lớn của trọng lực là $\vec{P}=m.\vec{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\vec{g}$ có độ lớn là $g=9,8m/{\mathrm{s}}^2$. Cho biết công $A(J)$ sinh bởi một lực $\vec{F}$ có độ dịch chuyển $\vec{d}$ được tính bởi công thức $A=\vec{F}.\vec{d}$. Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\vec{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$

của chiếc cần cầu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^{\circ }$. Chiếc cần cầu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là $4700N$ và trọng lượng của khung sắt là $3000N$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$. Tọa độ của vecto $\vec{a}$ là

Trong không gian $Oxyz$ với $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$. Tính tọa độ của vecto $\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-2)$ và $B(2;2;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;2;1)$. Tính độ dài đoạn thẳng $OA$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;3)$, $B(2;3;-4)$, $C(-3;1;2)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, $SA\perp (ABCD)$. Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc tọa độ tại A; các điểm B, D, S lần lượt trên các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$. Xác định tọa độ điểm C?

Trong không gian $Oxyz$, cho các véc tơ $\vec{u}=2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$, $\vec{v}=(m;2;m+1)$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left|\vec{u}\right|=\left|\vec{v}\right|$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$; $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$ với $a\ne 0$. Độ dài đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1)$, $\overrightarrow{AB}=(1;3;1)$ thì tọa độ của điểm $B$ là:

Hình 2.38 minh họa một hệ tọa độ $Oxyz$ trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm tọa độ của điểm $M^{\prime }$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng tọa độ $Oxz$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ là các vectơ đơn vị, điểm $M(2;0;1),N(3;2;4)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M(x;y;z)$.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;2;0),\vec{b}=2\vec{j}+2\vec{k}$. Dựng $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Với hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập như hình dưới (gốc tọa độ $O$ trùng với tâm hình vuông $ABCD$). Tìm tọa độ đỉnh $A^{\prime }$.

Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là $890km/h$ trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ được lấy theo kilômét.

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ $Oxyz$ như Hình với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1m$. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}=(a;b;c)$. Tính $a+c$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1;2;1)$ và $\vec{b}=(-1;3;0)$. Vecto $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba vecto $\vec{a}(1;2;3);\vec{b}(2;2;-1);\vec{c}(4;0;-4)$. Tọa độ của vecto $\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c}$ là

Cho $\vec{a}=(-2;3;2),\vec{b}=(2;1;-1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}=\vec{a}-\vec{b}$ là:

Cho $\vec{a}=(2;-1;3),\vec{b}=(1;1;-1)$. Tọa độ của vectơ $\vec{v}=2\vec{a}-\vec{b}$ là:

Cho $\vec{a}=(-1;-1;2),\vec{b}=(-1;1;-1),\vec{c}=(2;4;7)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}=\vec{a}-3\vec{b}+2\vec{c}$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(3;-4;1)$ và $\vec{b}=(2;-1;0)$. Tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{m}=(a;b;c)$ và $\vec{n}=(x;y;z)$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;0;-1)$ và $\vec{b}=(3;-5;6)$. Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $M(2;3;-1)$, $N(-1;1;1)$ và $P(1;m-1;2)$. Tìm $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;1;-2)$, $B(2;-3;5)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA=2MB$, tọa độ điểm $M$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho các vec tơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=(m;-1;m+3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để góc giữa hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m sử dụng rađa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình 2) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.



Các khẳng định sau đúng hay sai?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với vật đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50), đơn vị đo lấy theo kilômét.



Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;-3;3)$, $\vec{b}=(0;2;-1)$, $\vec{c}=(3;-1;5)$ và $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{c}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(-2;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(1;5;-5)$, $A^{\prime }(3;5;7)$, $B^{\prime }(8;3;9)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(5;1;5)$; $B(4;3;2)$; $C(-3;-2;1)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 10 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 4 m. Một chiếc quạt được treo trên trần nhà sao cho là điểm chính giữa của phòng học. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $(O\equiv A)$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Gọi $I(a;b;c)$ là tọa độ của điểm treo quạt. Tính giá trị $a+b+c$?

Một căn nhà được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thể hiện như hình bên (đơn vị cm), hai điểm $A^{\prime }$ và $B^{\prime }$ có tọa độ lần lượt là $A^{\prime }(240;420;0)$ và $B^{\prime }(120;420;300)$. Hãy tính độ lớn của góc $\alpha$ (làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(-2;4;-2)$ và $C(x-y;6;x+y)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB$. Giá trị của $2x+3y$ để ba điểm $O;I;C$ thẳng hàng là

Cho bảng khảo sát về khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường như sau:



Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Điểm kiểm tra của nhóm học sinh lớp 10 được cho như sau:



Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$Q_1,Q_2,Q_3$ là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Bảng thống kê cân nặng 50 quả thanh long được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường



Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Thời gian (phút) truy cập intenét mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

Bốn bạn Ánh, Ba, Châu, Dũng cùng là thành viên của một câu lạc bộ rubik. Trong một lần luyện tập rubik với nhau, mỗi bạn đã cùng giải rubik 30 lần liên tiếp và thống kê kết quả lại ở bảng sau:

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì bạn nào có tốc độ giải rubik đồng đều nhất?

Bảng dưới đây thống kê cự li sau 50 lần ném tạ của một vận động viên.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

Thời gian chạy bộ của bạn mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn An được thống kê lại ở bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng

Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo 10 lần và cho kết quả như sau:

Độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả đo của An và Bình (làm tròn đến hàng phần nghìn) lần lượt là

Tìm hiểu thời gian sử dụng điện thoại trong tuần đầu tháng 6/2024 của kỳ nghỉ hè lớp chủ nhiệm. GVCN thu được kết quả sau:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Thống kê điểm thi khảo sát đầu năm môn Toán của hai lớp 12A và 12B, ta thu được kết quả sau:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Thống kê điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Bảng sau thống kê tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến năm 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau.



(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Hãy chia mẫu số liệu trên làm 4 nhóm với nhóm đầu tiên là $[140;240)$ và lập bảng tần số ghép nhóm.
c) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh kết quả tương ứng thu được ở câu a).

Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.

a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?
b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.

Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm soát tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:



a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là $[42;46)$ và độ dài mỗi nhóm bằng 4.
c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.