Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(-2;4;-2)$ và $C(x-y;6;x+y)$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB$. Giá trị của $2x+3y$ để ba điểm $O;I;C$ thẳng hàng là

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOAB là điểm I trong mặt phẳng (OAB) thỏa $I\cdot A=\frac{|A{|}^2}{2}=\frac{14}{2}=7$ và $I\cdot B=\frac{|B{|}^2}{2}=\frac{24}{2}=12$. Vì $A\cdot B=-2+8-6=0$ nên viết $I=\alpha A+\beta B$: $14\alpha =7\Rightarrow \alpha =\frac{1}{2}$; $24\beta =12\Rightarrow \beta =\frac{1}{2}$. Vậy $I=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B=\left(-\frac{1}{2};3;\frac{1}{2}\right)$. Kiểm tra: $I\cdot A=-\frac{1}{2}+6+\frac{3}{2}=7$ ✓, $I\cdot B=1+12-1=12$ ✓. Để $O;I;C$ thẳng hàng thì $C=tI$: từ tung độ $3t=6\Rightarrow t=2$. Suy ra $x-y=2\cdot (-\frac{1}{2})=-1$, $x+y=2\cdot \frac{1}{2}=1$, nên $x=0$, $y=1$. Do đó $2x+3y=0+3=3$.