Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos (AB,DM)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh tứ diện đều bằng $a$. Tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $D\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2\sqrt{3}},a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$. Trung điểm $M$ của $BC$: $M\left(\frac{3a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4},0\right)$.
$\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{DM}=\left(\frac{a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{12},-a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DM}=\frac{a^2}{4}$.
$|\overrightarrow{DM}{|}^2=a^2\left(\frac{1}{16}+\frac{3}{144}+\frac{2}{3}\right)=a^2\cdot \frac{108}{144}=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow |\overrightarrow{DM}|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\cos (AB,DM)=\frac{a^2/4}{a\cdot a\sqrt{3}/2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.