Trong không gian, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $t=\frac{SM}{SO}$, đặt $SO=a$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên với hệ điểm $A,B,C,D$ có trọng tâm $O$: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2=4M{O}^2+O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2+O{D}^2$. Do $M\in SO$ nên $MS=at$, $MO=a(1-t)$, thus $P=a^2{t}^2+4a^2(1-t{)}^2+(O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2+O{D}^2)$. Hàm số theo $t$: đạo hàm $2a^{2}t-8a^2(1-t)=0\Rightarrow 10t=8\Rightarrow t=\frac{4}{5}$. Kiểm tra: hệ số $a^2+4a^2>0$ nên đây là điểm nhỏ nhất. Vậy tỉ số $\frac{SM}{SO}=\frac{4}{5}$.