(0,5 điểm) Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a = 100 mét. Với quy luật: mỗi cạnh của bước trước được chia làm 3, bỏ đoạn giữa và thay bằng 2 đoạn bằng nó ghép thành một tam giác đều (hướng ra ngoài). Cho biết chi phí để lắp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo có chi phí là 5 triệu đồng / m². Nếu quá trình xây dựng cứ tiếp diễn mãi mãi, hãy tính tổng chi phí lắp đất và trồng cỏ.

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f2]

Diện tích ban đầu (Bước 0): Diện tích tam giác đều cạnh a = 100 m là:
$$S_0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100^2\sqrt{3}}{4}=2500\sqrt{3}$$
Diện tích thêm vào ở mỗi bước:
Bước 1: Ta thêm 3 tam giác nhỏ, mỗi tam giác có cạnh bằng a/3. Diện tích mỗi tam giác nhỏ này là
$$S_1=\frac{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{9}{S}_0$$
Tổng diện tích thêm vào là $3\times \frac{1}{9}{S}_0$
Bước 2: Ở bước này, ta thêm $3.4=12$ tam giác nhỏ hơn nữa. Mỗi tam giác có cạnh bằng a/9, diện tích bằng $S_2=\frac{1}{9}{S}_1=\frac{1}{81}{S}_0$
Tổng diện tích thêm vào là: $12.\frac{1}{81}{S}_0=\frac{4}{27}{S}_0$
Tổng quát (Bước n): Diện tích được thêm vào ở bước n là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3}{S}_0$, $q=\frac{4}{9}$
Tổng diện tích S của hòn đảo là tổng của diện tích ban đầu và tổng của chuỗi diện tích được thêm vào:
$$S=S_0+\left(\frac{1}{3}{S}_0+\frac{4}{27}{S}_0+\frac{16}{243}{S}_0+\dots \right)=S_0+\frac{\frac{1}{3}{S}_0}{1-\frac{4}{9}}=\frac{8}{5}{S}_0=4000\sqrt{3}$$ (0,25 điểm)

Tính tổng chi phí: Chi phí lấp đất và trồng cỏ là 5 triệu đồng /m² nên tổng chi phí trồng cỏ và lấp đất là 5. S = $5.4000\sqrt{3}=20000\sqrt{3}$ (0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Chú ý: Nếu học sinh trình bày cách giải khác, đảm bảo đúng và chặt chẽ thì chấm điểm tối đa của phần hoặc câu đó.