1) Cho $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính: $\sin \alpha$; $\cos 2\alpha$; $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$, $\tan 2\alpha$, $\cos \frac{\alpha }{2}$.

2) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Tính $\sin 2\alpha$; $\sin 4\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1) Vì π/2 < α < π nên sinα > 0. sinα = √(1 − cos²α) = √(1 − 25/169) = 12/13.
cos2α = 2cos²α − 1 = 2·(25/169) − 1 = −119/169.
sin(α − π/6) = sinα·cos(π/6) − cosα·sin(π/6) = (12/13)(√3/2) − (−5/13)(1/2) = (12√3 + 5)/26.
sin2α = 2 sinα cosα = 2·(12/13)(−5/13) = −120/169; tan2α = sin2α/cos2α = (−120/169)/(−119/169) = 120/119.
Vì α/2 ∈ (π/4, π/2) nên cos(α/2) > 0: cos(α/2) = √((1 + cosα)/2) = √((1 − 5/13)/2) = √(4/13) = 2√13/13.
Bài 2) Bình phương hai vế: (sinα + cosα)² = 1/4 ⇒ 1 + 2sinαcosα = 1/4 ⇒ sin2α = −3/4.
Từ sinαcosα = −3/8 < 0 và sinα + cosα = 1/2 > 0 suy ra α ở góc phần tư thứ II (sinα > 0, cosα < 0), do đó 2α ∈ (π, 3π/2) và sin2α < 0 ⇒ cos2α < 0: cos2α = −√(1 − 9/16) = −√7/4.
Vậy sin4α = 2 sin2α cos2α = 2·(−3/4)·(−√7/4) = 3√7/8.