1. Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên $(C)$ các điểm $M$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ của $(C)$ tạo với hai đường tiệm cận của $(C)$ một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

2. Cho nửa hình cầu bán kính $r$ không đổi. Một hình nón có chiều cao $h$, bán kính đáy là $r_1$. Hãy xác định $h$ và $r_1$ để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng mặt ngoài của hình nón tiếp xúc của mặt cầu và 2 đường tròn đáy đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Ý 1: Cực trị Hình học giải tích

Cách 1: Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)
- Gọi $A,B$ là giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận $I(-1;1)$.
- Diện tích $S_{IAB}=8$ (hằng số).
- $r=\frac{8}{IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}}$. Để $r$ max $\Rightarrow (IA+IB)$ min.
- $IA+IB\ge 2\sqrt{IA\cdot IB}=2\sqrt{16}=8$.
- Dấu "=" khi $IA=IB$ (Vuông cân) $\Rightarrow k=\pm 1\Rightarrow M(1;-1),M(-3;3)$.

Cách 2: Tham số hóa tọa độ
- Gọi $M(x_0;1-\frac{4}{x_0+1})$. Viết phương trình tiếp tuyến.
- Tìm tọa độ $A(-1;y_A),B(x_B;1)$. Tính độ dài $IA,IB$ theo $x_0$.
- Thiết lập hàm số bán kính $r(x_0)$ và khảo sát đạo hàm (Cách này dài nhưng tổng quát cho mọi bài toán không có tính chất tam giác vuông cân).

Ý 2: Tối ưu Hình học không gian



Cách 1: Lượng giác hóa - Khuyên dùng
- Đặt $\alpha$ là góc ở đáy $(0<\alpha <90^{\circ })$.
- $r_1=h\cot \alpha$ và $r=r_1\sin \alpha \Rightarrow r_1=\frac{r}{\sin \alpha }$.
- $S_{xq}=\pi r_{1}l=\frac{\pi r^2}{{\sin }^2\alpha \cos \alpha }$.
- Khảo sát mẫu số $f(\alpha )=(1-{\cos }^2\alpha )\cos \alpha$. Max khi $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$.
- Kết quả: $h=r\sqrt{3}$, $r_1=\frac{r\sqrt{6}}{2}$.

Cách 2: Đại số hóa
- Đặt ẩn $h$. Ta có $\Delta \sim \Delta \Rightarrow \frac{r_1}{\sqrt{h^2+r_1^2}}=\frac{r_1}{l}=\cos \alpha$.
- Từ đồng dạng: $r_1^2=\frac{h^2{r}^2}{h^2-r^2}$.
- $S_{xq}(h)=\pi r_1\sqrt{h^2+r_1^2}$. Thay $r_1$ vào và đạo hàm theo $h$.
- Kết quả tương đương nhưng tính toán nặng nề hơn.