1. Một buổi chiều nào, bên bếp lửa hồng trong gian nhà ấm áp, người ta nhìn thấy ba mẹ con cùng ngồi ăn đậu phộng rang. Tấm ăn trước, cô bóc 1 hạt đậu và bỏ vào miệng; Cám là người bóc đậu tiếp theo, cô bỏ hai hạt đậu vào miệng; dì ghẻ là người bóc đậu tiếp theo liền bỏ 3 hạt vào miệng. Trở lại lượt của Tấm, cô lấy 4 hạt đậu, rồi Cám lấy 5 hạt đậu, dì ghẻ lấy 6 hạt đậu... Bữa ăn hào hứng như thế cho đến lượt cuối cùng thì số hạt đậu không đủ theo quy luật trò chơi, người nào đến lượt cuối sẽ lấy hết số hạt đậu còn lại. Sau bữa ăn ấm áp ấy, Tấm nhận ra mình đã cho vào bụng khoảng 317 hạt đậu. Hỏi tổng số đậu mà ba mẹ con đã ăn trong tối đó là bao nhiêu?

2. Tính số đo ba góc tam giác $ABC$ biết $9+4\left(\sqrt{2}\cos B-\sqrt{3}\cos C\right)=4\cos A\cos (B-C)$.

Ý 1: Bài toán dãy số (Chia kẹo)

Cách 1: Dùng công thức cấp số cộng (Đại số)
- Dãy số chung: 1, 2, 3, 4, 5, …. Tấm là người thứ nhất.
- Các lượt ăn của Tấm: 1, 4, 7, …. Số hạt ở lượt thứ $k$ là $u_k=3k-2$.
- Tổng số hạt Tấm ăn sau $n$ lượt trọn vẹn: $S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$.
- Giải $S_n\approx 317\Rightarrow 3n^2\approx 634\Rightarrow n\approx 14.5$. Chọn $n=14$.
- $S_{14}=287$. Số hạt vét đĩa: $317-287=30$.
- Lượt tiếp theo (thứ 15 của Tấm) ứng với $u_{15}=43$. Vì $30<43$ nên đúng là vét đĩa.
- Tổng số đậu = (Tổng 42 số tự nhiên đầu) + 30 hạt lẻ = $903+30=933$.

Cách 2: Liệt kê và ước lượng (Số học)
- Tổng 3 lượt trong 1 vòng thứ $k$: $(3k-2)+(3k-1)+3k=9k-3$.
- Tấm chiếm khoảng 1/3 tổng số hạt. Tổng hạt ước lượng $317\times 3\approx 951$.
- Tổng $n$ số tự nhiên $\approx \frac{m^2}{2}\approx 951\Rightarrow m\approx \sqrt{1900}\approx 43$.
- Kiểm tra lượt 43: Lượt này thuộc về Tấm (vì $43\equiv 1(\mathrm{mod}3)$).
- Số hạt Tấm ăn nếu đầy đủ đến lượt 43: $S_{\text{Taˆˊm}}={\sum }_{k=1}^{15}(3k-2)=335>317$.
- Vậy Tấm dừng ở giữa chừng lượt thứ 15.
- Tính lại chính xác như Cách 1 ra 933.

Ý 2: Phương trình lượng giác

Cách 1: Tổng bình phương (Đại số)

• Biến đổi VP: $4\cos A\cos (B-C)=-4\cos (B+C)\cos (B-C)=-2(\cos 2B+\cos 2C)=4-4{\cos }^{2}B-4{\cos }^{2}C$.

• Chuyển vế: $(4{\cos }^{2}B+4\sqrt{2}\cos B+2)+(4{\cos }^{2}C-4\sqrt{3}\cos C+3)=0$.

• $\iff (2\cos B+\sqrt{2}{)}^2+(2\cos C-\sqrt{3}{)}^2=0$.

• $\iff \hat{B}=135^{\circ },\hat{C}=30^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=15^{\circ }$.

Cách 2: Đánh giá (Bất đẳng thức)

• Ta có $2\cos B+\sqrt{2}=0\iff \cos B=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ là điểm rơi.

• Xét hàm $f(x)=4x^2+4\sqrt{2}x+2=(2x+\sqrt{2}{)}^2\ge 0$.

• Phương trình thực chất là tổng các hàm không âm bằng 0. Cách tư duy này giúp xác định nhanh dạng toán "tổng bình phương".