1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=\frac{3}{2}AD$, $\widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{\circ }$, $CD=AD$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;1;0)$, $B(0;1;1)$. Đặt $P=\left|3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}\right|$, trong đó $M(a;b;c)$ là một điểm chạy trên mặt phẳng $(Oxz)$. Tính $a+b+c$ khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Đáp án (theo lời giải chính thức trang 8): Ý 1: $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=-\frac{1}{4}$. Ý 2: $M(9;0;-2)$ nên $a+b+c=9+0+(-2)=7$.

LỜI GIẢI (nguồn: trang 8):

Ý 1: Góc giữa 2 vectơ

Cách 1: Phân tích vectơ
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
- $=\frac{1}{2}AB\cdot AD-\frac{3}{4}AB\cdot AD=-\frac{1}{4}AB\cdot AD$.
- $\cos =-\frac{1}{4}$ (Vì $CD=AD$).

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ đặc biệt
- Chọn $A(0;0;0)$. $B(b;0;0)$ nằm trên $Ox$.
- $D(1;\sqrt{3};0)$ (trong mp $Oxy$, giả sử $AD=2$).
- $C$ nằm trong không gian sao cho $AC=3$ và $\widehat{CAB}=60^{\circ }$.
- Tính tích vô hướng qua tọa độ. (Cách này dài hơn nhưng trực quan cho ai thạo $Oxyz$).

Ý 2: Cực trị Vectơ

Cách 1: Tâm tỉ cực
- Tìm $I$: $\overrightarrow{OI}=3\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}=(9;1;-2)$.
- $P=IM$. Min khi $M$ là hình chiếu $I$ lên $(Oxz)\Rightarrow M(9;0;-2)$.

Cách 2: Biến đổi đại số
- $P^2={\left(3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}\right)}^2=9A{M}^2+4B{M}^2-12\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$.
- Thay tọa độ $M(x;0;z)$ vào, nhóm hằng đẳng thức: $(x-9{)}^2+(z+2{)}^2+C\ge C$.
- Tìm được $x=9$, $z=-2$.