1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=\frac{3}{2}AD$, $\widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{\circ }$, $CD=AD$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;1;0)$, $B(0;1;1)$. Đặt $P=\left|3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}\right|$, trong đó $M(a;b;c)$ là một điểm chạy trên mặt phẳng $(Oxz)$. Tính $a+b+c$ khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $KABC$ có $KA$, $KB$, $KC$ đôi một vuông góc, các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt nằm trên các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ và thỏa mãn $OA=OB=OC=2a$. Biết điểm $K$ có tọa độ là các số dương và $OK=\sqrt{6}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{M{A}^{\prime }}=\vec{0}$; $\overrightarrow{NC}+2\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Mặt phẳng $(BMN)$ cắt $A^{\prime }D$ tại $P$. Biết $\overrightarrow{BP}=m.\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+n.\overrightarrow{AB}+k.\overrightarrow{AD}$, giá trị biểu thức $T=n-4m-8k$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A$, $B$, $C$ cách đều nhau trên đèn tròn (như hình vẽ).



Độ dài của ba đoạn dây $OA$, $OB$, $OC$ đều bằng $L$ (inch). Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 inch (coi $1\text{ inch}=2,54cm$). Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, $F=F(L)$ là một hàm số với biến số là $L$. Tìm chiều dài (đơn vị inch) tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N (N: Niu tơn, là đơn vị đo của các loại lực).

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AC$, $MN$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết $D(1;2;3),C(-3;4;-1),A^{\prime }(2;0;-2)$.