1) Giải bất phương trình
$$\sqrt{x^2-3x+2}\le x+|x-1|.$$

2) Giải phương trình
$$\frac{1+{\sin }^{5}x}{\sin x+\cos x}={\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x-\sin x\cos x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$$

(AI giải đề cho tôi)
**Câu II.1)** Điều kiện: $x^2-3x+2\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 2$.

- Với $x\ge 1$: kết hợp điều kiện được $x\ge 2$. Khi đó VP $=x+x-1=2x-1\ge 3>0$. Bình phương hai vế:
$$x^2-3x+2\le 4x^2-4x+1\iff 3x^2-x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1+\sqrt{13}}{6}\approx 0,768.$$
Kết hợp $x\ge 2$ được $x\ge 2$.

- Với $x<1$ (thỏa điều kiện): VP $=x+1-x=1>0$. Bình phương:
$$x^2-3x+2\le 1\iff x^2-3x+1\le 0\iff \frac{3-\sqrt{5}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{5}}{2}.$$
Kết hợp $x<1$: $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\le x<1$.

Vậy tập nghiệm: $\left[\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right)\cup \left[2;+\infty \right)$.

**Câu II.2)** Điều kiện $\sin x+\cos x\ne 0$. Đặt $s=\sin x,c=\cos x$, $p=sc$.

Ta có:
$${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x-\sin x\cos x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=(1-2p^2)-p+p^2=1-p-p^2.$$

Mặt khác:
$${\sin }^{5}x+{\cos }^{5}x=(s+c)(s^4-s^{3}c+s^2{c}^2-s{c}^3+c^4)=(s+c)[(1-2p^2)-p+p^2]=(s+c)(1-p-p^2).$$

Do đó phương trình tương đương:
$$\frac{1+s^5}{s+c}=1-p-p^2\iff 1+s^5=(s+c)(1-p-p^2)=s^5+c^5.$$

Suy ra $c^5=1\iff \cos x=1\iff x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện vì $\sin x+\cos x=1\ne 0$).

Thử lại: $x=2k\pi$: VT $=\frac{1+0}{0+1}=1$; VP $=1+0-0+0=1$. Đúng.

Vậy tập nghiệm: $x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.