1) Tìm tập hợp $A\subset \mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $A\ne \varnothing$
ii) A có không quá 5 phần tử
iii) Nếu $x\in A$ thì $\frac{1}{x}\in A$ và $(1-x)\in A$
2) Cho 101 số nguyên dương có tổng bằng 300 được viết trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một dãy các số viết liền nhau có tổng bằng 100.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1: Xét hai phép biến đổi $f(x)=\frac{1}{x}$ và $g(x)=1-x$ trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Từ $x\in A$ ta phải có đồng thời các phần tử: $x,\frac{1}{x},1-x,\frac{1}{1-x},\frac{x}{x-1},\frac{x-1}{x}$ (đây là các ảnh của $x$ dưới nhóm sinh bởi $f,g$, vì $f\circ f=\mathrm{id}$, $g\circ g=\mathrm{id}$, $f\circ g\circ f(x)=\frac{x}{x-1}$, v.v.). Nếu $x$ không phải điểm bất động của bất kỳ phép biến đổi nào trong 6 phép trên thì 6 giá trị này đôi một khác nhau, khi đó $A$ phải có ít nhất 6 phần tử, mâu thuẫn với ii). Xét các trường hợp trùng nhau:
• $x=\frac{1}{x}\Rightarrow x=\pm 1$. Với $x=1$ thì $1-x=0\notin \mathbb{R}\setminus \{0\}$, loại. Với $x=-1$: hợp lệ.
• $x=1-x\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
• $x=\frac{1}{1-x}\iff x^2-x+1=0$: vô nghiệm thực.
• $x=\frac{x}{x-1}\Rightarrow x=2$; $x=\frac{x-1}{x}\iff x^2-x+1=0$: vô nghiệm.
Như vậy mọi phần tử của $A$ phải nằm trong quỹ đạo $\left\{-1,\frac{1}{2},2\right\}$ (kiểm tra: từ $-1$ ta có $\frac{1}{-1}=-1$, $1-(-1)=2$; từ $2$ ta có $\frac{1}{2}$ và $1-2=-1$; từ $\frac{1}{2}$ ta có $2$ và $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$). Vì $A\ne \varnothing$ nên $A$ phải chứa trọn quỹ đạo này, vậy $A=\left\{-1,\frac{1}{2},2\right\}$. Thử lại: tập này có 3 phần tử $\le 5$, khác rỗng, và đóng dưới cả hai phép biến đổi. Vậy $A=\left\{-1,\frac{1}{2},2\right\}$ là tập duy nhất thỏa mãn.

Bài 2: Đánh số các số theo chiều tròn là $a_1,a_2,\dots ,a_{101}$ và đặt $S_0=0$, $S_i=a_1+a_2+\cdots +a_i$ với $i=1,2,\dots ,100$. Vì các $a_i$ đều nguyên dương và tổng bằng 300 nên $0=S_0<S_1<\cdots <S_{100}\le 299$ (do $a_{101}\ge 1$).
Xét 101 số $S_0,S_1,\dots ,S_{100}$ theo mô-đun 100: chúng chỉ có thể nhận 100 giá trị dư nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại $0\le i<j\le 100$ sao cho $S_j\equiv S_i(\mathrm{mod}100)$, tức $S_j-S_i=100k$ với $k\in \{1,2,3\}$ (hiệu dương do dãy tăng ngặt).
• Nếu $k=3$: $S_j-S_i=300$, nhưng $S_j\le 299$, vô lý. Vậy $k\in \{1,2\}$.
• Nếu $k=1$: dãy các số viết liền nhau $a_{i+1},a_{i+2},\dots ,a_j$ có tổng $S_j-S_i=100$.
• Nếu $k=2$: dãy $a_{i+1},\dots ,a_j$ có tổng 200; khi đó phần còn lại của đường tròn, tức dãy $a_{j+1},\dots ,a_{101},a_1,\dots ,a_i$, cũng là dãy các số viết liền nhau trên đường tròn và có tổng $300-200=100$.
Vậy trong mọi trường hợp luôn tồn tại một dãy các số viết liền nhau có tổng bằng 100. Đpcm.