Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Lấy $F$ là một điểm bất kì thuộc cung $AB$ (không chứa C) sao cho F không trùng với các điểm $A,B$. Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung $BC$ (không chứa A) và $N$ là điểm chính giữa của cung $AC$ (không chứa B). Đường thẳng qua C song song với đường thẳng $MN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $P$ (khác C). Gọi $I,I_1,I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$, $FAC$, $FBC$. Đường thẳng $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ (khác $P$).
a) Chứng minh $NPMI$ là hình bình hành.
b) Chứng minh 4 điểm $I_1,I_2;G,F$ cùng nằm trên một đường tròn.