(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $(SBC)$ theo phương chiếu $AM$ biến điểm $G$ thành điểm $H$. Tỉ số $\frac{GH}{AM}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: đặt $A$ làm gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $M$ là trung điểm $SB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{2}$, và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+2\vec{d}}{3}$.

Đường thẳng qua $G$ song song với $AM$ (phương chiếu) có dạng: $X=G+t\overrightarrow{AM}$, tức $\overrightarrow{AX}=\frac{t}{2}\vec{s}+\left(\frac{1}{3}+\frac{t}{2}\right)\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$.

Điểm $H$ thuộc mặt phẳng $(SBC)$ nên $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AS}+u(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AS})+v\overrightarrow{AD}=(1-u)\vec{s}+u\vec{b}+v\vec{d}$.

So sánh hệ số theo $\vec{s},\vec{b},\vec{d}$ (độc lập tuyến tính):
- Theo $\vec{d}$: $v=\frac{2}{3}$.
- Theo $\vec{s}$ và $\vec{b}$: $\frac{t}{2}=1-u$ và $\frac{1}{3}+\frac{t}{2}=u$. Cộng lại: $\frac{1}{3}+t=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$.

Vậy $\overrightarrow{GH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, suy ra $\frac{GH}{AM}=\frac{2}{3}$.