(1,0 điểm) Cho hình vuông cạnh 4 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (tham khảo hình bên dưới). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần.



Gọi $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ lần lượt là diện tích các hình vuông được tô màu.

Tính tổng $T=S_1+S_2+\dots +S_n+\dots$

Diện tích hình vuông ban đầu có cạnh bằng 4 là $S=4^2=16$. Diện tích hình vuông thứ nhất được tô màu khi chia hình vuông ban đầu thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau là $S_1=\frac{S}{4}$. Diện tích hình vuông thứ hai được tô màu là $S_2=\frac{1}{4}{S}_1=\frac{S}{4^2}$. Cứ tiếp tục như thế, ta được: $S_3=\frac{S}{4^3};S_4=\frac{S}{4^4};\dots ;S_n=\frac{S}{4^n};\dots$ Vậy tổng $T=S.\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots \right)$ (0,25 điểm)

Dãy số $(u_n)$: $\frac{1}{4};\frac{1}{4^2};\frac{1}{4^3};\dots ;\frac{1}{4^n};\dots$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có số hàng đầu $\frac{1}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$. (0,25 điểm)

Khi đó $\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots =\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$ (0,25 điểm)

Vậy tổng $T=16.\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$ (0,25 điểm)