(2,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{\frac{6077}{2}{u}_n+2^{-n}}{2^n{u}_n+6076},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

Đặt $v_n=2^n{u}_n\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
Từ công thức truy hồi ta nhân $2^{n+1}$ cho hai vế và rút gọn: $v_{n+1}=\frac{6077v_n+2}{v_n+6076}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
Lần lượt trừ 2; −1 cho hai vế ta thu được
$v_{n+1}-2=\frac{6075(v_n-2)}{v_n+6076}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
$v_{n+1}+1=\frac{6078(v_n+1)}{v_n+6076}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
(Ở đầu ra 2 số này thì bạn hãy thử cho $v_n=v_{n+1}=x$ và giải phương trình, người ta gọi đó là điểm bất động)
Chia hai đẳng thức vế theo vế (Nhớ chứng minh $v_n$ không thể nhận giá trị 2; −1 để phép chia hợp lệ)
$$\frac{v_{n+1}-2}{v_{n+1}+1}=\frac{6075}{6078}\cdot \frac{v_n-2}{v_n+1}=\frac{2025}{2026}\cdot \frac{v_n-2}{v_n+1}$$
Đặt $x_n=\frac{v_n-2}{v_n+1}$, suy ra $(x_n)$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{2025}{2026}$
Số hạng đầu: $x_1=\frac{v_1-2}{v_1+1}=\frac{2^1{u}_1-2}{2^1{u}_1+1}=\frac{4-2}{4+1}=\frac{2}{5}$
Số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$:
$$x_n=x_1\cdot q^{n-1}=\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{2025}{2026}\right)}^{n-1}$$
Từ $x_n=\frac{v_n-2}{v_n+1}$ ta rút ra $v_n$:
$$x_n{v}_n+x_n=v_n-2\iff v_n(1-x_n)=x_n+2\iff v_n=\frac{2+x_n}{1-x_n}$$
Thay biểu thức của $x_n$ vào ta có:
$$v_n=\frac{2+\frac{2}{5}{\left(\frac{2025}{2026}\right)}^{n-1}}{1-\frac{2}{5}{\left(\frac{2025}{2026}\right)}^{n-1}}=\frac{10\cdot 2026^{n-1}+2\cdot 2025^{n-1}}{5\cdot 2026^{n-1}-2\cdot 2025^{n-1}}$$
Mà $u_n=\frac{v_n}{2^n}$, vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là:
$$u_n=\frac{5\cdot 2026^{n-1}+2025^{n-1}}{2^{n-1}\left(5\cdot 2026^{n-1}-2\cdot 2025^{n-1}\right)}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$