(5 điểm) a) Tồn tại hay không một song ánh $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{Z}$?
b) Tồn tại hay không một song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}$?

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.

a) Tồn tại. Chọn $f(n)=n+1$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$. Rõ ràng $f$ là song ánh từ $\mathbb{Z}$ vào $\mathbb{Z}$ (nghịch đảo $f^{-1}(m)=m-1$). Khi đó với mọi $n\in \mathbb{Z}$:
$$f(2f(n))=f(2(n+1))=f(2n+2)=(2n+2)+1=2n+3.$$
Vậy thỏa mãn yêu cầu.

Kết luận: Tồn tại, chẳng hạn $f(n)=n+1$.

b) Không tồn tại. Giả sử ngược lại có song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3$ với mọi $n\in \mathbb{N}$. Vì $f$ là song ánh nên khi $n$ chạy khắp $\mathbb{N}$, $f(n)$ chạy khắp $\mathbb{N}$, do đó tập $\{2f(n):n\in \mathbb{N}\}$ đúng bằng tập tất cả các số chẵn trong $\mathbb{N}$. Suy ra
$$f(\text{tập caˊc soˆˊ cha˘˜n})=\{2n+3:n\in \mathbb{N}\},$$
tức là $f$ đưa toàn bộ tập các số chẵn (một tập vô hạn) một-một lên tập $\{2n+3\}$ (các số lẻ bắt đầu từ $3$ hoặc $5$ tùy cách quy ước $\mathbb{N}$).

Xét phần còn lại của tập xác định: tập các số lẻ trong $\mathbb{N}$, cũng là một tập vô hạn. Vì $f$ là đơn ánh và các giá trị $f(m)$ với $m$ chẵn đã chiếm trọn tập $\{2n+3\}$, nên với mọi $m$ lẻ, $f(m)$ không thể thuộc $\{2n+3\}$; do đó
$$f(\text{tập caˊc soˆˊ lẻ})\subseteq \mathbb{N}\setminus \{2n+3:n\in \mathbb{N}\}.$$
Phần bù này chỉ gồm các số chẵn đã bị "loại khỏi hình ảnh bởi ràng buộc trên" — cụ thể chỉ là hữu hạn phần tử đầu tiên (ví dụ nếu $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ thì $\{2n+3\}=\{5,7,9,\dots \}$ và phần bù là $\{1,2,3,4\}$; nếu $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ thì $\{2n+3\}=\{3,5,7,\dots \}$ và phần bù là $\{0,1,2\}$). Vậy tập vô hạn các số lẻ phải được $f$ (đơn ánh) đưa vào một tập hữu hạn — điều này mâu thuẫn với tính đơn ánh của $f$ (vô hạn phần tử khác nhau không thể có vô hạn giá trị đôi một khác nhau trong một tập hữu hạn).

Kết luận: Không tồn tại song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}$.