(5 điểm) a) Tồn tại hay không một song ánh $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{Z}$?
b) Tồn tại hay không một song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}$?

Câu 2. (5 điểm) Giả sử phân số $\frac{1}{2027}$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ cơ số gồm $k$ chữ số $\left(k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$ như sau:
$$\frac{1}{2027}=0,\left(\overline{a_1{a}_2\dots a_k}\right).$$
Chứng minh rằng: Trong các chữ số $a_1,a_2,\dots ,a_k$, tồn tại một chữ số xuất hiện không quá
a) 101 lần.
b) 100 lần.

Câu 3. (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $(I_1),(I_2)$ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD,ACD$. Một tiếp tuyến chung ngoài $d$ khác $BC$ của $(I_1),(I_2)$ tiếp xúc với $(I_1)$ tại $M$ và tiếp xúc với $(I_2)$ tại $N$.
a) Gọi $D^{\prime }$ là giao điểm thứ hai của $AD$ và $(I)$. Chứng minh ba điểm $D^{\prime },B,M$ thẳng hàng.
b) Gọi $R$ là giao điểm thứ hai của $BM$ và $(I_1)$, $S$ là giao điểm thứ hai của $CN$ và $(I_2)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $D^{\prime }RS$ cắt $BC$ tại hai điểm $T,U$. Chứng minh rằng $d$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $D^{\prime }TU$.

Câu 4. (5 điểm) Trong một giải cờ vua, có 20 vận động viên tham gia. Mỗi vòng, các vận động viên được chia thành 10 cặp thi đấu với nhau. Hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau không quá một lần. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn: Sau 4 vòng đấu, bất kể cách chia cặp đấu ra sao, có thể chắc chắn chọn ra $k$ vận động viên đôi một chưa từng thi đấu với nhau?