(7.0 điểm) Với số nguyên dương $n\ge 2$, một bảng ô vuông $n\times n$ được gọi là bảng “tốt” nếu trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên dương thỏa mãn:

i) Các số nguyên dương đôi một phân biệt;

ii) Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột, ta tính ước chung lớn nhất của $n$ số nguyên dương trong hàng, cột đó thì sau tất cả ta thu được $2n$ kết quả khác nhau.

a) Chứng minh rằng trong mỗi bảng $n\times n$ “tốt”, luôn có một ô vuông chứa số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2n^2$.

b) Một bảng ô vuông $n\times n$ được gọi là “tốt tối tiểu” nếu tất cả các số nguyên dương trong bảng đều nhỏ hơn hoặc bằng $2n^2$. Chứng minh rằng không tồn tại bảng “tốt tối tiểu” với $n$ là số lẻ.

c) Xác định tất cả các giá trị $n\ge 2$ để tồn tại bảng $n\times n$ “tốt tối tiểu”.

Với mỗi hàng hoặc cột $L$, đặt $d(L)=\gcd \{\text{caˊc soˆˊ na˘ˋm treˆn }L\}$ và gọi $d(L)$ là chỉ số của $L$.
Theo giả thiết, $2n$ chỉ số của $n$ hàng và $n$ cột đôi một khác nhau, ta có các nhận xét:
- Nếu $L$ có chỉ số $d$, thì $n$ số trên $L$ là $n$ bội dương phân biệt của $d$. Vì thế số lớn nhất trên $L$ không nhỏ hơn $nd$.
- Nếu một ô là giao của hàng có chỉ số $a$ và cột có chỉ số $b$, thì số trong ô đó chia hết cho cả $a$ và $b$, do đó chia hết cho $\mathrm{lcm}(a,b)$.

a) Có $2n$ chỉ số là $2n$ số nguyên dương đôi một khác nhau. Bởi vậy, trong các chỉ số ấy phải có một chỉ số $d\ge 2n$. Hàng hoặc cột có chỉ số $d$ chứa $n$ bội dương phân biệt của $d$.
Theo nhận xét trên, số lớn nhất trên hàng hoặc cột này không nhỏ hơn
$$nd\ge n\cdot 2n=2n^2.$$
Vậy trong mọi bảng tốt luôn có một ô chứa số không nhỏ hơn $2n^2$.

b) Giả sử tồn tại một bảng tốt tối tiểu. Nếu một hàng hoặc cột có chỉ số $d$, thì nó chứa một số không nhỏ hơn $nd$. Mặt khác, mọi số trong bảng đều không vượt quá $2n^2$, nên $nd\le 2n^2$, suy ra $d\le 2n$.
Như vậy, $2n$ chỉ số là $2n$ số nguyên dương phân biệt, đều không vượt quá $2n$.
Do đó tập hợp các chỉ số phải chính xác là
$$\{1,2,\dots ,2n\}.\text{\hspace{1em}(1)}$$
Không mất tính tổng quát giả sử chỉ số $2n$ thuộc về một cột, kí hiệu cột đó là $C_{2n}$.
Các số trên $C_{2n}$ là $n$ bội dương phân biệt của $2n$, đồng thời không vượt quá $2n^2$.
Chỉ có đúng $n$ bội như vậy, nên các số trên $C_{2n}$ là
$$2n,4n,6n,\dots ,2n^2.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Ta tiếp tục chứng minh các chỉ số $2n-1$ và $2n-2$ cũng thuộc về các cột.

Nếu $2n-1$ là chỉ số của một hàng, thì ô giao của hàng đó với $C_{2n}$ phải chia hết cho
$$\mathrm{lcm}(2n-1,2n)=2n(2n-1)>2n^2,$$
mâu thuẫn với tính tối tiểu. Vậy $2n-1$ là chỉ số của một cột, kí hiệu là $C_{2n-1}$.

Nếu $2n-2$ là chỉ số của một hàng, thì tại giao điểm của hàng đó với $C_{2n-1}$, số trong ô phải chia hết cho $(2n-2)(2n-1)$ vì hai số này nguyên tố cùng nhau. Với $n\ge 3$,
$$(2n-2)(2n-1)-2n^2=2n(n-3)+2>0.$$
Suy ra số trong ô lớn hơn $2n^2$, vô lí. Do đó $2n-2$ cũng là chỉ số của một cột, kí hiệu là $C_{2n-2}$.

Bây giờ giả sử $n$ lẻ. Khi đó $n\ge 3$. Xét hàng hoặc cột $A$ có chỉ số $n$.

Trường hợp 1: $A$ là một cột.
Các số trên $A$ đều là bội của $n$. Theo (2), tất cả các bội chẵn của $n$ không vượt quá $2n^2$, tức là
$$2n,4n,\dots ,2n^2,$$
đều đã nằm trên $C_{2n}$. Vì các số trong bảng đôi một khác nhau, cột $A$ chỉ có thể chứa các bội lẻ của $n$:
$$n,3n,5n,\dots ,(2n-1)n.$$
Có đúng $n$ số như vậy, nên đây chính là các số nằm trên $A$.
Vì $n$ lẻ nên tất cả các số này đều lẻ. Mỗi hàng cắt $A$ tại một số lẻ, do đó chỉ số của mỗi hàng, là ước của số ấy, cũng phải lẻ. Vậy $n$ chỉ số của các hàng chính là $n$ số lẻ trong tập (1):
$$1,3,5,\dots ,2n-1.$$
Đặc biệt, $2n-1$ phải là chỉ số của một hàng. Điều này mâu thuẫn với việc $2n-1$ đã là chỉ số của cột $C_{2n-1}$ nên trường hợp này không xảy ra.

Trường hợp 2: $A$ là một hàng.
Hàng $A$ cắt $C_{2n}$ tại một ô. Ngoài ô này, $n-1$ ô còn lại trên $A$ chứa các bội của $n$ không nằm trên $C_{2n}$. Bởi (2), chúng phải là các bội lẻ của $n$, nên đều là số lẻ.
Do đó $n-1$ cột khác $C_{2n}$ đều có chỉ số lẻ. Như vậy, trong tất cả các cột, cột duy nhất có thể có chỉ số chẵn là $C_{2n}$. Nhưng $C_{2n-2}$ cũng có chỉ số chẵn, mâu thuẫn.
Cả hai trường hợp đều vô lí. Vậy không tồn tại bảng tốt tối tiểu khi $n$ lẻ.

c) Để ý ta chỉ cần xét $n$ chẵn.
Giả sử $n\ge 8$ chẵn và tồn tại một bảng tốt tối tiểu. Ta đã biết rằng các chỉ số $2n$, $2n-1$, $2n-2$ đều thuộc về các cột. Với $n\ge 8$, ta có
$$(2n-4)(2n-3)-2n^2=2(n-1)(n-6)>0.\text{\hspace{1em}(3)}$$
Nếu $2n-3$ là chỉ số của một hàng, thì hàng đó cắt cột $C_{2n-2}$ tại một số chia hết cho
$$(2n-3)(2n-2)>(2n-4)(2n-3)>2n^2,$$
vô lí. Do đó $2n-3$ là chỉ số của một cột. Tương tự, nếu $2n-4$ là chỉ số của một hàng thì tại giao điểm với cột $C_{2n-3}$, số trong ô phải chia hết cho
$$(2n-4)(2n-3)>2n^2$$
và theo (3), cũng sẽ vô lí. Vì vậy $2n-4$ là chỉ số của một cột.

Xét cột $C_{2n-2}$. Số bội dương của $2n-2$ không vượt quá $2n^2$ là
$$\lfloor \frac{2n^2}{2n-2}\rfloor =\lfloor \frac{n^2}{n-1}\rfloor =n+1,$$
vì $n^2=(n-1)(n+1)+1$. Cột $C_{2n-2}$ đã chứa $n$ bội phân biệt của $2n-2$.
Vì vậy, trong toàn bộ phần còn lại của bảng, có nhiều nhất một số chia hết cho $2n-2$. (4)

Xét hàng hoặc cột $A$ có chỉ số $n-1$. Vì $n$ chẵn nên $n-1$ lẻ. Bởi vậy, một bội của $n-1$ là số chẵn khi và chỉ khi nó chia hết cho $2(n-1)=2n-2$. (5)

Trường hợp 1: $A$ là một cột.
Theo (4) và (5), $A$ chứa nhiều nhất một số chẵn. Do đó ít nhất $n-1$ hàng cắt $A$ tại một số lẻ, nên ít nhất $n-1$ hàng có chỉ số lẻ.
Trong tập $\{1,2,\dots ,2n\}$ chỉ có $n$ số lẻ. Vì thế các cột có nhiều nhất một chỉ số lẻ. Nhưng $2n-1$ và $2n-3$ là hai chỉ số lẻ cùng thuộc về các cột, mâu thuẫn.

Trường hợp 2: $A$ là một hàng.
Ngoài cột $C_{2n-2}$, theo (4), hàng $A$ có nhiều nhất một ô chứa số chẵn. Một cột có chỉ số chẵn thì mọi số trên cột ấy đều chẵn. Vì vậy, ngoài $C_{2n-2}$, có nhiều nhất một cột mang chỉ số chẵn.
Tuy nhiên, $C_{2n}$ và $C_{2n-4}$ là hai cột khác $C_{2n-2}$, đều có chỉ số chẵn. Lại mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại bảng tốt tối tiểu với $n\ge 8$ chẵn.

Khi $n=6$, ta đã biết các chỉ số 12, 11, 10 thuộc về các cột.
Giả sử một trong các số 7, 8, 9 là chỉ số của một hàng. Hàng ấy cắt cột $C_{11}$ tại một số chia hết lần lượt cho $7.11=77$, $8.11=88$ và $9.11=99$.
Cả ba số đều lớn hơn $2n^2=72$. Do đó 7, 8, 9 đều phải là chỉ số của các cột.
Như vậy sáu cột có các chỉ số
$$7,8,9,10,11,12.$$
Suy ra chỉ số 5 thuộc về một hàng, gọi là $R_5$. Cột $C_{10}$ chứa 6 bội phân biệt của 10.
Trong khi đó, chỉ có
$$10,20,30,40,50,60,70$$
là các bội dương của 10 không vượt quá 72. Vì thế, ngoài $C_{10}$, toàn bảng chứa nhiều nhất một bội của 10. Các số trên $R_5$ đều là bội của 5. Một số như vậy chẵn khi và chỉ khi nó là bội của 10. Do đó, ngoài giao điểm với $C_{10}$, hàng $R_5$ có nhiều nhất một ô chứa số chẵn.
Suy ra trong năm cột khác $C_{10}$, nhiều nhất một cột có chỉ số chẵn. Nhưng $C_8$ và $C_{12}$ đều là các cột có chỉ số chẵn và đều khác $C_{10}$, mâu thuẫn. Vậy $n=6$ cũng không thỏa mãn.

Vậy $n=2$ và $n=4$ là tất cả giá trị thoả mãn yêu cầu bằng cách xét các bảng sau:

3	4
6	8

5	6	7	8
10	30	14	16
15	18	21	24
20	12	28	32