a) Cho dãy số thực $(a_n)(n=0,1,2,...)$ thỏa mãn $0\le a_n+4a_{n+1}+3a_{n+2}\le 2025,\forall n\ge 0$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ bị chặn.

Ta có $0\le a_1+a_2+3a_3\le 2025\iff \frac{-a_1-a_2}{3}\le a_3\le \frac{2025-a_1-a_2}{3}$.
Suy ra $|a_3|\le \max \left\{\left|\frac{a_1+a_2}{3}\right|;\left|\frac{2025-a_1-a_2}{3}\right|\right\}\le \max \left\{\frac{|a_1|+|a_2|}{3};\frac{2025+|a_1|+|a_2|}{3}\right\}$. (0,5 điểm)

Đặt $t=\max \{|a_1|;|a_2|;2025\}$, thì $|a_3|\le \max \left\{\frac{2t}{3};t\right\}\le t$. (0,5 điểm)

Bằng quy nạp ta chứng minh $|a_n|\le t,\forall n\ge 1$. Thật vậy, giả sử $|a_k|\le t,\forall k=1,...,n-1$.
Khi đó $|a_n|\le \max \left\{\frac{|a_{n-2}|+|a_{n-1}|}{3};\frac{2025+|a_{n-2}|+|a_{n-1}|}{3}\right\}\le \max \left\{\frac{2t}{3};t\right\}\le t$. (0,5 điểm)

Tóm lại, $|a_n|\le t,\forall n\ge 1$ hay dãy $(a_n)$ bị chặn. (0,5 điểm)