a) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=11$ và $u_{n+1}+15n+1=4u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Xác định công thức tổng quát của $(u_n)$ và tìm tất cả giá trị $n$ để $u_n$ là một số chính phương.

b) Trường của Hoàng có tất cả là $n$ lớp. Lớp đông nhất trường có $M$ học sinh. Hôm nay, lớp Hoàng có giờ học ngoại khóa với chủ đề “Thống Kê và Tính Toán”. Nhóm trưởng nhóm của Hoàng phân công các bạn làm việc như sau:

• Hoàng lập dãy số $a_1;a_2;...;a_n$ là số học sinh từng lớp trong trường.

• Hùng lập dãy số $b_1;b_2;...;b_M$ với $b_i$ là số lượng các lớp trong trường mà số học sinh trong mỗi lớp đó không ít hơn $i$ học sinh.

• Sơn tính giá trị $S$ là tổng lập phương mọi số mà Hoàng lập được.

• An tính giá trị $A$ là tổng tất cả giá trị $b_i$ mà Hùng lập được.

• Bình tính giá trị $B$ là tổng tất cả giá trị $i.b_i$.

• Chí tính giá trị $C$ là tổng tất cả giá trị $i^2{b}_i$.

Chứng minh rằng: $S=A-3B+3C$.

a) Hệ thức truy hồi: $u_{n+1}=4u_n-15n-1$.

Đặt $u_n=v_n+an+b$. Thay vào hệ thức:

$$v_{n+1}+a(n+1)+b=4(v_n+an+b)-15n-1\iff v_{n+1}=4v_n+(3a-15)n+(3b-a-1).$$

Chọn $3a-15=0\Rightarrow a=5$ và $3b-a-1=0\Rightarrow b=2$.

Khi đó $v_{n+1}=4v_n$, đây là cấp số nhân với công bội $q=4$.

Ta có $v_1=u_1-5\cdot 1-2=11-7=4$. Suy ra $v_n=4\cdot 4^{n-1}=4^n$.

Vậy, công thức tổng quát: $u_n=4^n+5n+2$.

Tìm $n$ để $u_n$ là số chính phương:

$n=1\Rightarrow u_1=11$ (loại).

$n=2\Rightarrow u_2=28$ (loại).

$n=3\Rightarrow u_3=81=9^2$ (thỏa mãn).

Với $n\ge 4$, ta có: $(2^n{)}^2=4^n<4^n+5n+2<4^n+2\cdot 2^n+1=(2^n+1{)}^2$.

Do $u_n$ bị kẹp giữa $2$ số chính phương liên tiếp nên $u_n$ không thể là số chính phương.

Vậy $n=3$.

b) Thay vì tính tổng trên toàn trường cùng một lúc, ta xét sự đóng góp của một lớp học bất kỳ vào các đại lượng $A$, $B$, $C$.

Giả sử ta xét lớp thứ $k$ có $x$ học sinh $(x=a_k)$. Ta tính xem lớp này đóng góp bao nhiêu vào các tổng $A$, $B$ và $C$.

Theo định nghĩa, $b_i$ là số lượng các lớp có từ $i$ học sinh trở lên. Vì lớp đang xét có $x$ học sinh, nên nó sẽ được “đếm” đúng $1$ lần trong các giá trị $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_x$. Từ $b_{x+1}$ trở đi, lớp này không đủ sĩ số nên đóng góp bằng $0$.

Sự đóng góp vào $A$: Vì $A=b_1+b_2+\cdots +b_M$, lớp này đóng góp $1$ vào mỗi số hạng từ $b_1$ đến $b_x$. Tổng đóng góp là: $A_x=\underset{x\text{soˆˊ}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=x$.

Sự đóng góp vào $B$: Vì $B=1b_1+2b_2+\cdots +M{b}_M$, lớp này đóng góp $1\cdot 1$ vào số hạng đầu, $2\cdot 1$ vào số hạng hai, $\dots$, $x\cdot 1$ vào số hạng thứ $x$.

Tổng đóng góp là: $B_x=1+2+3+\cdots +x=\frac{x(x+1)}{2}$.

Sự đóng góp vào $C$: Vì $C=1^2{b}_1+2^2{b}_2+\cdots +M^2{b}_M$.

Tổng đóng góp là: $C_x=1^2+2^2+3^2+\cdots +x^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$.

Bây giờ, ta tính giá trị biểu thức $A-3B+3C$ tính riêng cho sự đóng góp của lớp này:

$$A_x-3B_x+3C_x=x-3\cdot \frac{x(x+1)}{2}+3\cdot \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$$
$$=x-\frac{3x(x+1)}{2}+\frac{x(x+1)(2x+1)}{2}$$
$$=\frac{2x-3x^2-3x+(x^2+x)(2x+1)}{2}$$
$$=\frac{-3x^2-x+2x^3+x^2+2x^2+x}{2}$$
$$=\frac{2x^3}{2}=x^3.$$

Như vậy, mỗi lớp có $x$ học sinh sẽ đóng góp chính xác bằng $x^3$ vào tổng $A-3B+3C$.

Khi xét trên toàn bộ trường gồm $n$ lớp với số học sinh lần lượt là $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, tổng giá trị của biểu thức $A-3B+3C$ sẽ là tổng các phần đóng góp của tất cả $n$ lớp:

$$A-3B+3C=a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3$$

Mặt khác, theo đề bài, Sơn tính $S$ là tổng lập phương số học sinh mọi lớp, tức là:

$$S=a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3$$

Vậy ta có $S=A-3B+3C$ (điều phải chứng minh).