a) Trong mặt phẳng $Oxy$, đồ thị của hàm số $y=x^3-3m{x}^2+4m^3$ ($m$ là tham số) có 2 điểm cực trị $A$, $B$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để tam giác $OAB$ là tam giác vuông cân.

b) Từ xã $A$ đến xã $B$ chỉ có 2 con đường $AFB$ hoặc $AEB$ (với $AFBE$ là hình chữ nhật như hình vẽ) và các đoạn đường $AF$, $AE$ có độ dài lần lượt là 5km và 3km. Người ta muốn xây một con đường mới từ xã $A$ đến xã $B$ bằng cách như sau: chọn một vị trí $K$ trên đoạn đường $BE$, xây con đường mới đi thẳng từ vị trí điểm $K$ đến xã $A$ rồi sau đó nâng cấp đoạn đường từ xã $B$ đến $K$ để đưa vào sử dụng. Hỏi vị trí điểm $K$ cách xã $B$ bao nhiêu km để chi phí xây con đường $BKA$ thấp nhất? Biết rằng chi phí xây mỗi km đường mới gấp $\frac{5}{4}$ lần chi phí nâng cấp 1km đường cũ.

a) Tập xác định: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx=3x(x-2m)=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2m.\end{array}$

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $A$, $B$ thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $2m\ne 0\iff m\ne 0$.

Khi đó, tọa độ 2 điểm cực trị là: $A(0;4m^3)$ và $B(2m;0)$.

Ta thấy $A\in Oy$ và $B\in Ox$, do đó tam giác $OAB$ luôn vuông tại gốc tọa độ $O$.

Để tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ thì $OA=OB$.

$$|4m^3|=|2m|\iff 2|m{|}^3=|m|.$$

Vì $m\ne 0$ nên chia hai vế cho $|m|$ ta được:

$$2m^2=1\iff m^2=\frac{1}{2}\iff m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Vậy $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Đặt $EK=x$ (km), điều kiện $0\le x\le 5$. Suy ra $BK=BE-EK=5-x$ (km).

Quãng đường mới xây đi thẳng từ $K$ đến $A$ là cạnh huyền của tam giác vuông $AEK$:
$$AK=\sqrt{A{E}^2+E{K}^2}=\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{x^2+9}.$$
Gọi chi phí nâng cấp 1 km đường cũ là $C$, suy ra chi phí xây 1 km đường mới là $\frac{5}{4}C$.

Tổng chi phí xây dựng và nâng cấp là:
$$f(x)=\frac{5}{4}C\cdot AK+C\cdot BK=C\left(\frac{5}{4}\sqrt{x^2+9}+5-x\right).$$
Để chi phí thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=\frac{5}{4}\sqrt{x^2+9}-x$ trên đoạn $[0;5]$.

Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{5x}{4\sqrt{x^2+9}}-1\iff 5x=4\sqrt{x^2+9}$.

Vì $x\ge 0$, bình phương 2 vế ta được:
$$25x^2=16(x^2+9)\iff 9x^2=144\iff x^2=16\iff x=4\text{ (thỏa ma˜n)}.$$
Lập bảng biến thiên

$x$	$0$		$4$		$5$
$f^{\prime }(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\frac{15}{4}$	↘	$\frac{9}{4}$	↗	$\frac{5\sqrt{34}}{4}$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$.

Khi $x=4$, vị trí điểm $K$ cách xã $B$ một khoảng là $BK=5-4=1$ (km).

Vậy vị trí điểm $K$ cách xã $B$ 1 km.