a) Cho hình chữ nhật $ABCD$ gồm $8\times 10$ ô vuông cạnh bằng 1. Xét đường đi có độ dài 18 từ $A$ đến $C$ dọc theo cạnh các hình vuông đó và đổi hướng đúng 4 lần. Tính số đường đi khác nhau có thể có. Dưới đây là một ví dụ đường đi thỏa yêu cầu của bài toán.

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

b) Cho $A$ là tập con của tập $\{1;2;3;\dots ;2026\}$ gồm nhiều hơn 1010 phần tử. Chứng minh rằng $A$ chứa phần tử là lũy thừa của 2 hoặc chứa hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6a: Vì độ dài đường đi từ A đến C đúng bằng 18 = 10 + 8 (khoảng cách Manhattan), mọi bước đều phải đi sang phải hoặc đi lên, tức đường đi đơn điệu. Đường đi có đúng 4 lần đổi hướng nên gồm 5 đoạn liên tiếp, các đoạn đổi kiểu luân phiên (ngang–dọc–ngang–dọc–ngang hoặc dọc–ngang–dọc–ngang–dọc), mỗi đoạn có độ dài dương. TH1: bắt đầu bằng đoạn ngang: cần h1+h3+h5=10 với hi≥1 nên có C(9,2)=36 cách; và v2+v4=8 với vi≥1 nên có C(7,1)=7 cách; được 36·7=252 đường. TH2: bắt đầu bằng đoạn dọc: v1+v3+v5=8 cho C(7,2)=21 cách; h2+h4=10 cho C(9,1)=9 cách; được 21·9=189 đường. Tổng số đường đi: 252+189=441. (Kết quả 441 trùng với lời giải chính thức của đề ở trang 17–18: khả năng 1 cho C(7,2)·C(9,1)=189, khả năng 2 cho C(9,2)·C(7,1)=252, tổng 441.)
Câu 6b: Phân loại các số theo trị số 2-adic: số x có dạng 2^a·u với u lẻ thì mọi cặp x+y là lũy thừa của 2 phải có cùng trị số a (vì 2^a·u+2^b·v với u,v lẻ chỉ là lũy thừa của 2 khi a=b). Xét các lớp L_a={2^a·u : u lẻ, 2^a·u≤2026}. Trong mỗi lớp, ghép cặp 2^a·u với 2^a·w sao cho u+w là lũy thừa của 2, khi đó tổng cặp bằng 2^a·2^m là lũy thừa của 2. Cụ thể: L0 (1013 số lẻ): lấy singleton {1}; ghép {3,5}(=8), {7,9}(=16), {11,21}, {13,19}, {15,17}(=32), và các cặp {x, 2048−x} với x lẻ từ 23 đến 1023 (501 cặp, bạn từ 1025 đến 2025): được 506 cặp phủ hết 1012 số còn lại. L1 (507 số): singleton {2}; ghép {3,5}, {7,9}, và {x,1024−x} với x lẻ từ 11 đến 511 (251 cặp): 253 cặp. L2 (253 số): singleton {4}; ghép {3,5}(=8) và {x,512−x} với x lẻ từ 7 đến 255 (125 cặp): 126 cặp. L3 (127 số): singleton {8}; ghép {x,256−x} với x lẻ từ 3 đến 125 (62 cặp) và cặp {127,129}(=256): 63 cặp. L4 (63 số): singleton {16}; ghép {x,128−x} với x lẻ từ 3 đến 63 (31 cặp). L5 (32 số, gồm 32,96,...,2016): ghép {32u, 32(64−u)} với u lẻ từ 1 đến 31: 16 cặp, tổng bằng 2048. L6: 8 cặp {64u, 64(32−u)} tổng 2048; L7: 4 cặp {128u, 128(16−u)} tổng 2048; L8 (4 số 256, 768, 1280, 1792): 2 cặp {256,1792}, {768,1280} tổng 2048; L9: cặp {512,1536} tổng 2048; L10: singleton {1024}. Kiểm tra: 6 singleton {1,2,4,8,16,1024} và 1010 cặp, phủ đúng 6+2020=2026 số. Giả sử A không chứa lũy thừa của 2 và không có hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2. Khi đó A không chứa phần tử nào của 6 singleton, và A chứa nhiều nhất một phần tử trong mỗi cặp (nếu chứa cả hai thì tổng của chúng là lũy thừa của 2). Suy ra |A| ≤ 1010, mâu thuẫn với |A| ≥ 1011. Vậy A phải chứa một lũy thừa của 2 hoặc hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2. Đáp số câu a: 441.