Xét hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn điều kiện

$$(m+n):(f(m)+f(n)),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

a) Tính $f(3)$.

b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện trên.

(AI giải đề cho tôi)
Ký hiệu $(m+n)⋮(f(m)+f(n))$ nghĩa là $m+n$ chia hết cho $f(m)+f(n)$, tức $f(m)+f(n)\mid m+n$ với mọi $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Với $m=n=1$: $2f(1)\mid 2\Rightarrow f(1)=1$.
Với $m=n=2$: $2f(2)\mid 4\Rightarrow f(2)\in \{1,2\}$. Với cặp $(1,2)$: $f(1)+f(2)=1+f(2)\mid 3$, nên $f(2)+1\in \{1,3\}\Rightarrow f(2)=2$.
Với $m=n=3$: $2f(3)\mid 6\Rightarrow f(3)\in \{1,3\}$. Cặp $(1,3)$: $1+f(3)\mid 4$, cả hai giá trị đều thỏa. Cặp $(2,3)$: $2+f(3)\mid 5\Rightarrow f(3)+2\in \{1,5\}\Rightarrow f(3)=3$.
Vậy $f(3)=3$.

b) Ta chứng minh $f(n)=n$ với mọi $n$ bằng quy nạp mạnh.
• $f(1)=1$ như trên.
• Giả sử $f(k)=k$ với mọi $k<n$. Với cặp $(n,n)$: $2f(n)\mid 2n\Rightarrow f(n)\mid n$, nói riêng $f(n)\le n$.
Với mọi $m<n$, theo giả thiết quy nạp $f(m)=m$, nên điều kiện cho cặp $(n,m)$ là
$$f(n)+m\mid n+m.$$
Suy ra $f(n)+m\mid (n+m)-(f(n)+m)=n-f(n)$ với mọi $m=1,2,\dots ,n-1$.
Chọn $m=n-1$: $f(n)+n-1\mid n-f(n)$. Nhưng $f(n)+n-1>n-f(n)⟺2f(n)>1$, luôn đúng. Nếu $n-f(n)>0$ thì một ước dương không thể lớn hơn số bị chia, mâu thuẫn. Vậy $n-f(n)=0$, tức $f(n)=n$.
• Kiểm tra: hàm $f(n)=n$ thỏa $f(m)+f(n)=m+n\mid m+n$. Vậy hàm duy nhất là $f(n)=n$.

Kết luận: a) $f(3)=3$; b) $f(n)=n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.