a) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=2AB$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CD}$. Gọi $F$ là điểm thuộc đoạn thẳng $A{B}^{\prime }$ sao cho $A^{\prime }F$ vuông góc với $A^{\prime }E$. Tính tỷ số $\frac{FA}{F{B}^{\prime }}$.

b) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Cho biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $a$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\alpha$, với $\cos \alpha =\frac{1}{3\sqrt{2}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.

a) Tính tỷ số $\frac{FA}{F{B}^{\prime }}$

• Tọa độ hóa: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,b,0)$, $A^{\prime }(0,0,2a)$.

• $C(a,b,0)$, $\overrightarrow{CD}=(-a,0,0)$. $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CD}=(-3a,0,0)\Rightarrow E(-2a,b,0)$.

• $B^{\prime }(a,0,2a)$. Gọi $F\in A{B}^{\prime }\Rightarrow \overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\Rightarrow F(ka,0,2ka)$.

• $\overrightarrow{A^{\prime }E}=(-2a,b,-2a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }F}=(ka,0,2ka-2a)$.

• $A^{\prime }F\perp A^{\prime }E\iff \overrightarrow{A^{\prime }F}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }E}=0\iff -2k{a}^2-2a(2ka-2a)=0\iff k=2/3$.

• Vì $AF=\frac{2}{3}A{B}^{\prime }$ nên $F{B}^{\prime }=\frac{1}{3}A{B}^{\prime }$. Vậy $\frac{FA}{F{B}^{\prime }}=2$.

b) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$

i. Xác định các yếu tố hình học:

• Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Do $△ABC$ đều nên $CI\perp AB$.

• Vì $SC\perp (ABC)\Rightarrow SC\perp AB$. Suy ra $AB\perp (SCI)$.

• Kẻ $CH\perp SI$ tại $H$. Vì $AB\perp (SCI)\Rightarrow AB\perp CH$.

• Từ đó $CH\perp (SAB)$, nên khoảng cách $d(C,(SAB))=CH=a$.

ii. Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$:

• Kẻ $HK\perp SB$ tại $K$. Ta có $CH\perp SB$ (do $CH\perp (SAB)$), suy ra $SB\perp (CHK)$.

• Do đó $SB\perp CK$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là $\widehat{CKH}=\alpha$ với $\cos \alpha =\frac{1}{3\sqrt{2}}$.

iii. Tính toán các đại lượng: Xét $△CHK$ vuông tại $H$, ta có:

$$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{18}}=\sqrt{\frac{17}{18}}\Rightarrow CK=\frac{CH}{\sin \alpha }=a\sqrt{\frac{18}{17}}$$

Đặt $BC=x$, $CI=\frac{x\sqrt{3}}{2}$ và $SC=y$.

• Xét $△SCI$ vuông tại $C$: $\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{S{C}^2}+\frac{1}{C{I}^2}\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{1}{y^2}+\frac{4}{3x^2}$

• Xét $△SCB$ vuông tại $C$: $\frac{1}{C{K}^2}=\frac{1}{S{C}^2}+\frac{1}{C{B}^2}\Rightarrow \frac{17}{18a^2}=\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}$

Giải hệ phương trình trên:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{y^2}+\frac{4}{3x^2}=\frac{1}{a^2}\\ \frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{17}{18a^2}\end{array}\Rightarrow \frac{1}{3x^2}=\frac{1}{18a^2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=a\sqrt{6}\\ y=\frac{3\sqrt{7}}{7}a\end{array}$$

iv. Tính thể tích khối chóp:

$$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot y\cdot \left(x^2\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{7}a}{7}\cdot \frac{6a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{21}}{14}{a}^3$$