a) Giải bất phương trình
$$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8\le 0.$$

b) Một công ty sản xuất hai loại thực phẩm $X$ và $Y$ để phục vụ nhân dân nhân dịp xuân Bính Ngọ 2026. Mỗi hộp thực phẩm loại $X$ chứa 2 đơn vị chất dinh dưỡng $A$, 2 đơn vị chất dinh dưỡng $B$ và 3 đơn vị chất dinh dưỡng $C$. Mỗi hộp thực phẩm loại $Y$ chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng $A$, 9 đơn vị chất dinh dưỡng $B$ và 2 đơn vị chất dinh dưỡng $C$. Giá một hộp loại $X$ là 200 nghìn đồng và một hộp loại $Y$ là 250 nghìn đồng. Tìm chi phí nhỏ nhất khi mua hai loại thực phẩm trên sao cho tổng lượng chất dinh dưỡng trong các hộp thực phẩm mua về chứa tối thiểu 11 đơn vị chất dinh dưỡng $A$, 27 đơn vị chất dinh dưỡng $B$ và 20 đơn vị chất dinh dưỡng $C$.

a) Giải bất phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8\le 0$.
Điều kiện: $-\frac{1}{3}\le x\le 6$. Sử dụng phương pháp liên hợp với nghiệm $x=5$:
$$\frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)\le 0$$
$$\iff (x-5)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right]\le 0$$
Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\in \left[-\frac{1}{3};6\right]$, ta có: $x-5\le 0\iff x\le 5$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $S=\left[-\frac{1}{3};5\right]$.

b) Bài toán quy hoạch tuyến tính (Tối ưu chi phí thực phẩm).
Gọi $x,y$ lần lượt là số hộ thực phẩm loại $X$ và loại $Y$ cần mua $(x,y\ge 0)$.
Hệ điều kiện về các đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& \text{(Chaˆˊt A)}\\ 2x+9y\ge 27& \text{(Chaˆˊt B)}\\ 2x+3y\ge 20& \text{(Chaˆˊt C)}\end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

i. Thiết lập hệ bất phương trình và Hàm mục tiêu. Hệ điều kiện về đơn vị chất dinh dưỡng tối thiểu:
$$\{\begin{array}{ll}2x+y\ge 11& (d_1)\\ 2x+9y\ge 27& (d_2)\\ 2x+3y\ge 20& (d_3)\\ x,y\in \mathbb{N}& \end{array}$$
Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: $L(x,y)=200x+250y$ (nghìn đồng).

ii. Xác định các điểm cực biên của miền nghiệm. Xét các giao điểm của các đường biên để xác định hình dạng miền nghiệm khả thi:

• Giao điểm của $d_1$ và $d_3$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+y=11\\ 2x+3y=20\end{array}\Rightarrow A(3,25;4,5).$$

• Giao điểm của $d_3$ and $d_2$: Giải hệ $$\{\begin{array}{l}2x+3y=20\\ 2x+9y=27\end{array}\Rightarrow B(8,25;1,16).$$

Chú ý: Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ tại $(4,5;2)$ không thỏa mãn điều kiện $(d_3)$ nên không thuộc miền nghiệm.

iii. Kiểm tra các điểm nguyên lân cận. Vì $x,y$ là các số nguyên, ta kiểm tra các tọa độ nguyên nằm trong miền nghiệm gần các đỉnh $A$ và $B$:



iv. Kết luận. Giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí là 1.800.000 đồng. Phương án tối ưu là mua 4 hộp thực phẩm loại X và 4 hộp thực phẩm loại Y.