Bài 1. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm cung nhỏ $BC$ và cung $\widehat{BAC}$ của đường tròn $(O)$.

a) Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AMB$, $AMC$. Chứng minh bốn điểm $A$, $N$, $I$, $J$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với $AM$, $AB$ và tiếp xúc trong với $(O)$; $(L)$ là đường tròn tiếp xúc với $AM$, $AC$ và tiếp xúc trong với $(O)$. Tiếp tuyến chung trong (khác $AM$) của $(K)$ và $(L)$ cắt $MN$ tại $Z$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $AZN$ tiếp xúc với cả $(K)$ và $(L)$.

Lời giải (Lim Olympic - Quảng Ngãi TST - P4):



a) Gọi $AI$ cắt $(O)$ tại $G$, $AJ$ cắt $(O)$ tại $H$. Ta dễ có $GI=GB=GM$ và $HJ=HM=HC$ mà $AG,AH$ đẳng giác nên $GB=HC\Rightarrow GI=HJ$, lại có $N$ là trung điểm cung lớn $BC$ nên $N$ cũng là trung điểm cung lớn $GH\Rightarrow NG=NH\Rightarrow △NGI=△NHJ$ (c.g.c) $\Rightarrow \angle NIG=\angle NJH\Rightarrow ANJI$ nội tiếp.

b) Gọi $AN,AM$ cắt $BC$ tại $E,D$.

Xét phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AB\cdot AC$ và lấy đối xứng qua phân giác $\angle BAC$ ta có:

B ⟺ C, (O) ⟺ BC nên (K) biến thành đường tròn bàng tiếp (Q) của ΔADC và (L) biến thành đường tròn bàng tiếp (P) của ΔABD.

Gọi U, V là hình chiếu của P, Q lên AT ⟹ $\frac{AP}{AQ}=\frac{PU}{QV}$. Gọi PQ cắt BC tại E' ⟹ E' là tâm vị tự ngoài của (P) và (Q) ⟹ $\frac{E^{\prime }P}{E^{\prime }Q}=\frac{PU}{QV}=\frac{AP}{AQ}$ ⟹ AE' là phân giác ngoài ∠PAQ ⟹ E' trùng E.

Gọi tiếp tuyến chung ngoài khác BC của (P), (Q) cắt AD tại T, cắt (ADE) tại X ⟹ AE, DX là hai đường cao ΔDET do (ADE) là đường tròn đường kính DE. Ta thấy ảnh của tiếp tuyến chung trong d của (K) và (L) sẽ là đường tròn đi qua A tiếp xúc trong với (P) và tiếp xúc ngoài với (Q) nên ảnh của d chính là đường tròn Euler tam giác DET theo định lí Feuerbach. Mà Z là giao điểm của d với MN nên ảnh của Z chính là X, là giao điểm của (ADE) và (Euler) của ΔDET. Mà EX tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên (AZN) tiếp xúc với cả (K) và (L).