Bài 3. (6,0 điểm) Cho đa thức hệ số thực $P(x)=x^{2026}+a_1{x}^{2025}+\cdots +a_{2025}x+a_{2026}$ với $a_{2024}=0$ và $a_{2025}{a}_{2026}>0$. Biết rằng đa thức $P(x)$ có 2026 nghiệm thực.

a) Chứng minh rằng $P(x)$ có cả nghiệm âm và nghiệm dương.

b) Xét dãy đa thức $P_1(x)=P(x)$, $P_{n+1}(x)=P\left(P_n(x)\right)$, $\forall n\ge 1$. Chứng minh rằng đa thức $P_{2026}(x)$ có cả nghiệm âm và nghiệm dương.

Lời giải (Lim Olympic - Quảng Ngãi TST - P6):

Gọi các nghiệm thực của $P$ là $x_1,x_2,\dots ,x_{2026}$ (kể cả bội). Vì $a_{2026}\ne 0$, tất cả các $x_i$ đều khác 0.

a) Theo Viète, ta có $a_{2026}=x_1{x}_2\cdots x_{2026}$ và $a_{2025}=-a_{2026}\sum _{i=1}^{2026}\frac{1}{x_i}$.

Do $a_{2025}{a}_{2026}>0$, suy ra $\sum _{i=1}^{2026}\frac{1}{x_i}<0$. Mặt khác, vì $a_{2024}=0$ nên

$$0=a_{2024}=a_{2026}\sum _{1\le i<j\le 2026}\frac{1}{x_i{x}_j},$$

Vì vậy $\sum _{1\le i<j\le 2026}\frac{1}{x_i{x}_j}=0$.

Từ đây suy ra được $P$ có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất một nghiệm dương.

b) Gọi $\alpha <0$ là nghiệm âm nhỏ nhất và $\beta >0$ là nghiệm dương lớn nhất của $P$.

Ta có nhận xét sau: Với mỗi $t\ge 0$, phương trình $P(x)=t$ có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất một nghiệm dương. Thật vậy, ta có

$$P(\alpha )=P(\beta )=0\le t,$$

trong khi do $P$ là đa thức monic bậc chẵn nên

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }P(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=+\infty .$$

Theo định lý giá trị trung gian, trên $(-\infty ,\alpha ]$ có một nghiệm của $P(x)=t$, và trên $[\beta ,+\infty )$ cũng có một nghiệm, trong đó nghiệm thứ nhất âm và nghiệm thứ hai dương.

Bây giờ đặt $t_0=0$. Do $\beta >0$ và $P(\beta )=0$, ta chọn $t_1=\beta >0$ sao cho $P(t_1)=t_0$.

Tiếp tục, nếu đã chọn $t_j>0$, theo nhận xét trên ta có thể chọn một nghiệm dương $t_{j+1}>0$ của phương trình $P(x)=t_j$. Bằng cách đó ta thu được

$$P(t_{j+1})=t_j,j=0,1,\dots ,2024,$$

với $t_1,t_2,\dots ,t_{2025}>0$.

Cuối cùng, xét phương trình $P(x)=t_{2025}$. Theo nhận xét trên, phương trình này sẽ có một nghiệm âm $u<0$ và một nghiệm dương $v>0$. Khi đó

$$P_{2026}(u)=P_{2025}(P(t_{2025}))=0,P_{2026}(v)=P_{2025}(P(t_{2025}))=0.$$

Vậy $P_{2026}$ có cả nghiệm âm và nghiệm dương.