Biết rằng tích phân $I={\int }_0^{\pi /4}\frac{\ln (\sin x+15\cos x)}{{\cos }^{2}x}dx=a\pi +b\ln 2+c\ln 3+d\ln 5$ trong đó $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, tính $T=a+b+c+d$.

Sử dụng tích phân từng phần: đặt $u=\ln (\sin x+15\cos x)$, $dv=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}⟹v=\tan x+15$ hoặc $v=\tan x$. Sau khi tính tích phân và phân tích theo cơ số $\pi ,\ln 2,\ln 3,\ln 5$, ta xác định được các hệ số $a,b,c,d$ và tính được $T=a+b+c+d=\frac{133}{4}$.