Câu 2 (2,5 điểm):
a) Cho 2024 số thực $a_1,a_2,...,a_{2024}$ thỏa mãn $a_1,a_2,...,a_{2024}\in [0;2025)$. Chứng minh phương trình $x^{2024}-2025(a_1+a_2+...+a_{2024})x+a_1^2+a_2^2+...+a_{2024}^2-1=0$ luôn có nghiệm.
b) Cho $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}=2$. Tính ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{f(x)}+\sqrt[3]{f(x)+7}-3}{x^3+x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đặt $S=\sum a_i$, $Q=\sum a_i^2$ và $P(x)=x^{2024}-2025Sx+Q-1$. Vì $0\le a_i<2025$ nên $a_i^2\le 2025a_i$, suy ra $Q\le 2025S$, do đó $P(1)=1-2025S+Q-1=Q-2025S\le 0$. Nếu $P(1)=0$ thì $x=1$ là nghiệm. Nếu $P(1)<0$: vì bậc $2024$ chẵn nên $P(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, tồn tại $x_0>1$ với $P(x_0)>0$; theo định lý giá trị trung gian trên $[1;x_0]$, phương trình có nghiệm. Vậy phương trình luôn có nghiệm.

b) Vì ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}=2$ tồn tại nên $f(x)\to 1$ khi $x\to 1$ (nếu không mẫu số tiến về 0 còn tử không tiến về 0, giới hạn vô cực, vô lý), tức $f(1)=1$, và $f^{\prime }(1)=2$. Ta có $x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)$ với $x^2+x+2\to 4$.

Tách tử số:
$$\sqrt{f(x)}-1=\frac{f(x)-1}{\sqrt{f(x)}+1}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{f(x)}-1}{x-1}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1}+1}=1.$$
$$\sqrt[3]{f(x)+7}-2=\frac{f(x)-1}{(f(x)+7{)}^{2/3}+2(f(x)+7{)}^{1/3}+4}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{f(x)+7}-2}{x-1}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{1}{6}.$$
Vậy giới hạn cần tính:
$$\frac{1+\frac{1}{6}}{4}=\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{4}=\frac{7}{24}.$$