Câu 2 (3,50 điểm):

a) Cho hàm số $y=2(1+m)x^3-3(m+1)x^2+x+\frac{m}{2}-1$ (1), (với $m$ là tham số). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng với mọi $m$.

b) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn:
$$e^{x-3y}+e^{1-xy}+x(1-y)+1=e^{xy-1}+\frac{1}{e^{x-3y}}+3y,\text{(với }x\ge 0).$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x-2y+3$.

a) Hướng dẫn chấm:
- Hàm số được viết lại $(4x^3-6x^2+1)m+4x^3-6x^2+2x-2-2y=0$. (0,50 điểm)
- Tọa độ điểm cố định (nếu có) của họ đồ thị đã cho thỏa mãn
$$\{\begin{array}{l}4x^3-6x^2+1=0\\ 4x^3-6x^2+2x-2-2y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x^3-6x^2+1=0\\ y=x-\frac{3}{2}\end{array}$$ (0,50 điểm)
- Hệ trên có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua ba điểm cố định và các điểm cố định này nằm trên đường thẳng $(d):y=x-\frac{3}{2}$. (0,50 điểm)

b) Hướng dẫn chấm:
- Biến đổi giả thiết bài toán
$$e^{x-3y}-\frac{1}{e^{x-3y}}+x-3y=e^{xy-1}-\frac{1}{e^{xy-1}}+xy-1(\ast )$$ (0,50 điểm)
- Vì hàm số $f(t)=e^t-\frac{1}{e^t}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên
$$(\ast )\iff f(x-3y)=f(xy-1)\iff x-3y=xy-1\iff y=\frac{x+1}{x+3}$$ (0,50 điểm)
- Thay $y=\frac{x+1}{x+3}$ vào biểu thức $T$, ta được $T=h(x)=\frac{x^2+4x+7}{x+3}$. (0,50 điểm)
- Khảo sát hàm $h(x)$, với $x\ge 0$ cho ta $\underset{x\ge 0}{\min }T=\underset{x\ge 0}{\min }h(x)=\frac{7}{3}$. (0,50 điểm)