Câu 3. (3 điểm)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà trong mỗi số lập được chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.
2. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát.

1. Do trong mỗi số cần lập chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nên mỗi số đó không thể chứa số 0 và có 5 chữ số khác nhau.
Với mỗi cách chọn 5 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp các chữ số $\{1;2;3;\dots 9\}$ có duy nhất một cách xếp 5 chữ số đó thành số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán (xếp theo thứ tự tăng dần).
Do đó số các số tự nhiên có 5 chữ số mà trong mỗi số cần lập chữ số đứng liền sau luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước là $C_9^5=126$ số.

2. Cách 1.
Gán hệ trục $Oxy$ vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ $(x;y)$. Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm $(x;y)$ đến điểm có tọa độ $(x+x_0;y+y_0)$ trong đó $x_0;y_0\in \{-1;0;1\};x_0^2+y_0^2\ne 0$. Ví dụ: nếu $x_0=1;y_0=0$ thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, $x_0=-1;y_0=-1$ thì di chuyển xuống ô đường chéo.
Giả sử tọa độ ban đầu là $(0;0)$, thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là $(x_1+x_2+x_3;y_1+y_2+y_3);x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in \{-1;0;1\}$. Để về vị trí ban đầu thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ y_1+y_2+y_3=0\end{array}$.
Suy ra các bộ $\{x_1;x_2;x_3\}$ và $\{y_1;y_2;y_3\}$ là một hoán vị của $\{-1;0;1\}$.
Mà $\{x_1;x_2;x_3\}$ có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn $\{x_1;x_2;x_3\}$ có 4 cách chọn $\{y_1;y_2;y_3\}$ vì $(x_i;y_i),i=\overline{1;3}$ không đồng thời bằng 0.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là $p=\frac{24}{8^3}=\frac{3}{64}$.

Cách 2.
Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8 ô xung quanh ô ban đầu.
Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH1: $4\times 4\times 1=16$ cách.
Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH2: $4\times 2\times 1=8$ cách.
Xác suất cần tìm: $p=\frac{16+8}{8^3}=\frac{3}{64}$.