Câu 3 (4,00 điểm).
1. Cho một đa giác đều 8 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 8 đỉnh của đa giác. Tìm xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của tam giác vuông.
2. Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác cân tại $C$, $AB=2a$, $A{A}^{\prime }=a$ và $B{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ một góc bằng $60^{\circ }$. Gọi $N$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(B{C}^{\prime }N)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (4,00 điểm).

**1) Xác suất tam giác vuông trong đa giác đều 8 cạnh.**
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 8 đỉnh: $n(\Omega )=C_8^3=56$.
Vì 8 đỉnh cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp, tam giác vuông khi và chỉ khi có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{\circ }$).
Đa giác đều 8 cạnh có 4 cặp đỉnh đối xứng qua tâm, tức 4 đường kính; mỗi đường kính kết hợp với 1 trong 6 đỉnh còn lại cho đúng một tam giác vuông.
Số kết quả thuận lợi: $4\times 6=24$.
Vậy $P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$.

**2) Thể tích và khoảng cách.**
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì $CH\perp AB$, $BH=a$. Chọn hệ trục: $A(-a;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;h;0)$ với $h=CH$; trục $Oz$ trên $C{C}^{\prime }$. Vì lăng trụ đứng, $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=a$: $C^{\prime }(0;h;a)$, $N(-a;0;\frac{a}{2})$, $M(a;0;\frac{a}{2})$.

*Tìm $h$:* Mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $y=0$; hình chiếu của $C^{\prime }$ lên mặt này là $H^{\prime }(0;0;a)$, với $B{H}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $\widehat{C^{\prime }B{H}^{\prime }}=60^{\circ }$:
$$\tan 60^{\circ }=\frac{C^{\prime }{H}^{\prime }}{B{H}^{\prime }}=\frac{h}{a\sqrt{2}}\Rightarrow h=a\sqrt{6}.$$
Kiểm tra: $B{C}^{\prime }=\sqrt{h^2+2a^2}=2a\sqrt{2}$, $\sin \theta =\frac{a\sqrt{6}}{2a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng $60^{\circ }$.

*Thể tích:* $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\sqrt{6}=a^2\sqrt{6}$, nên $V=a^2\sqrt{6}\cdot a=a^3\sqrt{6}$.

*Khoảng cách từ $M$ đến $(B{C}^{\prime }N)$:*
$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(-a;a\sqrt{6};a)$, $\overrightarrow{BN}=(-2a;0;\frac{a}{2})$.
$$\vec{n}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{BN}=\left(\frac{a^2\sqrt{6}}{2};-\frac{3a^2}{2};2a^2\sqrt{6}\right).$$
$$|\vec{n}{|}^2=a^4\left(\frac{6}{4}+\frac{9}{4}+24\right)=\frac{111a^4}{4}\Rightarrow |\vec{n}|=\frac{a^2\sqrt{111}}{2}.$$
Với $\overrightarrow{BM}=(0;0;\frac{a}{2})$:
$$d(M,(B{C}^{\prime }N))=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{BM}|}{|\vec{n}|}=\frac{a^3\sqrt{6}}{\frac{a^2\sqrt{111}}{2}}=\frac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{111}}=\frac{2a\sqrt{74}}{37}.$$

**Kết luận:** 1) $P=\frac{3}{7}$; 2) $V=a^3\sqrt{6}$ và $d(M,(B{C}^{\prime }N))=\frac{2a\sqrt{74}}{37}$. Lưu ý: phép tính chuẩn hóa vector pháp tuyến đã được kiểm tra lại: ${\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+(2\sqrt{6}{)}^2=\frac{111}{4}$, do đó khoảng cách đúng là $\frac{2a\sqrt{74}}{37}$.