Câu 3. (5,00 điểm) Cho tam giác (), một đường tròn thay đổi luôn đi qua và lần lượt cắt các đoạn thẳng tại ( khác và ; khác và ). Gọi là giao điểm của và , đường thẳng cắt đường thẳng tại .
a) Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và ; đường thẳng cắt và lần lượt tại . Chứng minh rằng cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt tại và . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn thay đổi.
Câu 3. (5,00 điểm) Cho tam giác (), một đường tròn thay đổi luôn đi qua và lần lượt cắt các đoạn thẳng tại ( khác và ; khác và ). Gọi là giao điểm của và , đường thẳng cắt đường thẳng tại .
a) Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và ; đường thẳng cắt và lần lượt tại . Chứng minh rằng cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt tại và . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn thay đổi.
a) Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và ; đường thẳng cắt và lần lượt tại . Chứng minh rằng cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt tại và . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn thay đổi.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
a)
Lời giải 1:
Gọi là Miquel của tứ giác toàn phần .
Có , (theo định lý Brocard).
Khi đó ta có nội tiếp đường tròn đường kính .
Xét trục đẳng phương của ta có thẳng hàng
Ta có: nên tứ giác nội tiếp.
Ta có nên cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải 2:
Theo định lý Brocard ta có nên suy ra
Do đó cùng nằm trên một đường tròn.
b)
Gọi là trung điểm . Ta có nên nội tiếp.
Mặt khác ta có nên .
Do đó nội tiếp nên đi qua điểm cố định.