Câu 1 (5,00 điểm). Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)-\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Câu 2. (5,00 điểm) Cho hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) $f(p)=1$, với mọi $p$ nguyên tố;
ii) $f(xy)=yf(x)+xf(y),\forall x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho $n\ge 2026$ và $f(n)=n$.

Câu 3. (5,00 điểm) Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), một đường tròn $(O)$ thay đổi luôn đi qua $B,C$ và lần lượt cắt các đoạn thẳng $AB,AC$ tại $F,E$ ($F$ khác $A$ và $B$; $E$ khác $A$ và $C$). Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CF$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $P$.

a) Gọi $X,Y$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB$ và $AC$; đường thẳng $PO$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $K,L$. Chứng minh rằng $X,Y,K,L$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi $D$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn $(O)$ thay đổi.

Câu 4 (5,00 điểm). Một số nguyên dương $n\ge 3$ được gọi là số cân bằng nếu như tồn tại một tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương sao cho nếu ta bỏ đi bất kì một phần tử nào của $S$ thì tất cả các phần tử còn lại có thể chia ra làm hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập bằng nhau (số các số trong các tập có thể khác nhau).

a) Chứng minh rằng nếu $n$ là số cân bằng thì $n$ lẻ và $n\ge 7$.

b) Hãy tìm tất cả các số cân bằng.