Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ liên tục, khác hằng và thỏa mãn:
$$f(x^3)+1=(xf(x)+2x^2-1{)}^2,\forall x\in \mathbb{R}$$
Xét dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi $u_1=m\in \mathbb{R}$ và $u_{n+1}=f(u_n),\forall n\ge 1$.
① Chứng minh rằng tồn tại số thực $m>1$ sao cho dãy $(u_n)$ là dãy hằng.
② Giả sử $f$ là đa thức khác hằng, hỏi có bao nhiêu số thực $m\in (-1,3)$ để $u_{2027}=1$?

Với $n$ nguyên dương, xét các số thực thay đổi $x_1;x_2;\dots ;x_n\in [-1;1]$.
Quy ước $x_0=x_n$ và $x_{n+1}=x_1$. Ký hiệu $T=\underset{1\le k\le n}{\max }\{x_k(x_{k-1}+x_{k+1})\}$ là số lớn nhất trong $n$ số:
$$x_1(x_0+x_2);x_2(x_1+x_3);\dots ;x_n(x_{n-1}+x_{n+1})$$

(1) Khi $n=2026$, tìm giá trị nhỏ nhất của $T$.

(2) Khi $n=2027$, chứng minh rằng $T\ge -\frac{1}{4}$ và tìm một bộ $x_1;x_2;\dots ;x_n\in [-1;1]$ để dấu bằng xảy ra.

Với mỗi cặp số nguyên dương $a$ và $b$, ký hiệu $f(a,b)=11a+6b+8ab$.

(1) Chứng minh rằng với $a,b,c,d\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $m>1$ là lũy thừa của 2, nếu:

$$f(a,b)\equiv f(c,d)(\mathrm{mod}m)\text{vaˋ}f(b,a)\equiv f(d,c)(\mathrm{mod}m)$$

thì $a-c$ và $b-d$ đều chia hết cho $m$.

Hỏi kết luận có còn đúng không nếu $m$ có ước nguyên tố lẻ?

(2) Chứng minh rằng $k=2$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $f(a,b)+k$ không là số chính phương $\forall a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Cho hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm $A$, $B$. Kẻ tiếp tuyến chung $CD$ của hai đường tròn (gần $B$ hơn) với $C\in (O_1)$; $D\in (O_2)$. Dựng điểm $H$ sao cho tam giác $HCD$ nhận $B$ làm trực tâm. Kẻ đường kính $CR$ của $(O_1)$ và đường kính $DS$ của $(O_2)$. Biết rằng $BR$ cắt $HC$ ở $P$ và $BS$ cắt $HD$ ở $Q$. Dựng các điểm $I$, $J$ sao cho các đoạn thẳng $HI$, $HJ$ lần lượt nhận $P$, $Q$ là trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác $AIC$ và $AJD$ có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.