Với $n$ nguyên dương, xét các số thực thay đổi $x_1;x_2;\dots ;x_n\in [-1;1]$.
Quy ước $x_0=x_n$ và $x_{n+1}=x_1$. Ký hiệu $T=\underset{1\le k\le n}{\max }\{x_k(x_{k-1}+x_{k+1})\}$ là số lớn nhất trong $n$ số:
$$x_1(x_0+x_2);x_2(x_1+x_3);\dots ;x_n(x_{n-1}+x_{n+1})$$

(1) Khi $n=2026$, tìm giá trị nhỏ nhất của $T$.

(2) Khi $n=2027$, chứng minh rằng $T\ge -\frac{1}{4}$ và tìm một bộ $x_1;x_2;\dots ;x_n\in [-1;1]$ để dấu bằng xảy ra.

(1) Với mọi $k$, do $|x_k|\le 1$ và $|x_{k-1}+x_{k+1}|\le 2$ nên $x_k(x_{k-1}+x_{k+1})\ge -2$. Vì thế $T\ge -2$.

Mặt khác, chọn $x_k=(-1{)}^k$ với $1\le k\le 2026$. Khi đó $x_{k-1}=x_{k+1}=-x_k$ với mọi $k$.

Suy ra $x_k(x_{k-1}+x_{k+1})=x_k(-2x_k)=-2$ với mọi $k$, nên $T=-2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là $-2$.

(2) Nếu có $x_i=0$ thì $x_i(x_{i-1}+x_{i+1})=0$, suy ra $T\ge 0>-\frac{1}{4}$.

Vì vậy, ta chỉ cần xét trường hợp mọi $x_i$ đều khác 0.

Để ý trong 2027 số $x_1,x_2,\dots ,x_{2027}$ trên vòng tròn, tồn tại hai số $x_i,x_{i+1}$ cùng dấu nhau.

Đặt $a=|x_i|$, $b=|x_{i+1}|$, khi đó $0<a,b\le 1$ và $x_i{x}_{i+1}=ab$.

Ta có $x_i(x_{i-1}+x_{i+1})=x_i{x}_{i-1}+ab\ge -a+ab=-a(1-b)$.

Hơn thế nữa $x_{i+1}(x_i+x_{i+2})=ab+x_{i+1}{x}_{i+2}\ge ab-b=-b(1-a)$.

Nếu $a\le b$ thì $a(1-b)\le b(1-b)\le \frac{1}{4}$, do đó $x_i(x_{i-1}+x_{i+1})\ge -\frac{1}{4}$.

Nếu $b\le a$ thì $b(1-a)\le a(1-a)\le \frac{1}{4}$, do đó $x_{i+1}(x_i+x_{i+2})\ge -\frac{1}{4}$.

Trong mọi trường hợp đều có ít nhất một trong 2027 biểu thức không nhỏ hơn $-\frac{1}{4}$ nên $T\ge -\frac{1}{4}$.

Dấu bằng đạt được khi chọn $x_1=x_2=-\frac{1}{2}$ và $x_k=(-1{)}^{k+1}$ với $3\le k\le 2027$. Thật vậy, $x_1(x_{2027}+x_2)=x_2(x_1+x_3)=-\frac{1}{4}$, còn các biểu thức khác bằng $-\frac{3}{2}$ hoặc $-2$. Khi đó $T=-\frac{1}{4}$.