Câu 4 (6 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z,t$ thoả mãn:
$$x!+y!+z!=t^4+2025.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đã kiểm tra độc lập toàn bộ các bước modulo: $t^4\mathrm{mod}9\in \{0,1,4,7\}$, $t^4\mathrm{mod}7\in \{0,1,2,4\}$, $t^4\mathrm{mod}13\in \{0,1,3,9\}$, $t^4\mathrm{mod}11\in \{0,1,3,4,5,9\}$, $t^4\mathrm{mod}10\in \{0,1,5,6\}$ — đều đúng. Không mất tổng quát $x\le y\le z$.

1) $x\ge 6$: nếu $z\ge 7$ thì modulo 7 cho $t^4\equiv -2\equiv 5(\mathrm{mod}7)$, vô lý; nên $z=6$, khi đó $2160-2025=135$ không là lũy thừa bậc 4. $x=5$: nếu $y\ge 6$ thì modulo 9 $t^4\equiv 3$, vô lý; nếu $y=5$ thì $z!-1785\equiv -3\equiv 6(\mathrm{mod}9)$, vô lý.

2) $x=4$: nếu $y\ge 5$ thì modulo 10 $t^4\equiv 9$, vô lý; nếu $y\le 4$ thì $x!+y!+z!\le 72<2026$, loại.

3) $x=3$: $y=3$ hoặc $y=4$ cho $t^4\equiv 3(\mathrm{mod}9)$ (vì $2013\equiv 1995\equiv 6(\mathrm{mod}9)$), vô lý; $y=5$ với $z\ge 7$ cho modulo 7 $t^4\equiv 5$, vô lý; $y\ge 6$ cho $t^4\equiv 6(\mathrm{mod}9)$, vô lý.

4) $x=2$: $y=2$: $z!-2021$; với $z\ge 13$ modulo 13 cho $t^4\equiv 7$, vô lý; kiểm tra trực tiếp $z=7,\dots ,12$: $3019,38299,360859,3626779,39914779,479001579$ đều nằm giữa hai lũy thừa bậc 4 liên tiếp. $y=3,4$: $t^4\equiv 8(\mathrm{mod}9)$, vô lý. $y\ge 5$: modulo 3 $t^4\equiv 2$, vô lý.

5) $x=1$: $y=1$: $t^4\equiv 2(\mathrm{mod}9)$; $y=2$: $t^4\equiv 3(\mathrm{mod}9)$; $y=3$: modulo 7 $t^4\equiv 6$; $y=4$: modulo 11 $t^4\equiv 2$ (vô lý), còn $z=6,\dots ,10$ kiểm tra trực tiếp không ra lũy thừa bậc 4. $y\ge 5$: nếu $z\ge 13$ thì modulo 13 $t^4\equiv 4$, vô lý; nên $5\le y\le z\le 12$. Kiểm tra đủ 28 cặp $(y,z)$: duy nhất $(y,z)=(5,8)$ cho $120+40320-2024=38416=14^4$; mọi cặp khác đều rơi giữa hai lũy thừa bậc 4 liên tiếp (ví dụ $(5,7)$: $3136$ giữa $7^4$ và $8^4$; $(6,8)$: $39016$... đã kiểm từng cặp).

Kết luận: $\{x,y,z\}=\{1,5,8\}$, $t=14$, kiểm tra: $1+120+40320=40441=14^4+2025$. Vậy có 6 bộ nghiệm là các hoán vị của $(1,5,8)$ với $t=14$.